Troisième / Arithmétique

Ex. 1★★★Le bon critère — Réponds en citant le bon critère, sans poser de division.

1. aQuel nombre faut-il regarder pour savoir si $7\,236$ est divisible par $4$ ? Conclus.
2. b$5\,318$ est-il divisible par $4$ ?
3. cLe chiffre des unités de $4\,813$ est $3$. Cela prouve-t-il que $4\,813$ est divisible par $3$ ?
4. dParmi $2$, $4$, $5$, $9$ et $10$, par quels nombres $7\,452$ est-il divisible ?
5. eCalcule la somme des chiffres de $4\,371$. Par lequel des nombres $3$ et $9$ est-il divisible ?
6. f$3\,945$ est-il divisible par $6$ ?
7. gJustifie que $2\,790$ est un multiple de $15$.

Ex. 2★★★Division euclidienne, multiple et diviseur — Réponds à chaque question en écrivant l'égalité utile.

1. aPose la division euclidienne de $587$ par $17$ et écris l'égalité obtenue.
2. bUne fermière range $1\,000$ œufs dans des boîtes de $24$. Combien de boîtes pleines remplit-elle ? Combien d'œufs restent ?
3. cLucas écrit : « $425 = 12 \times 34 + 17$, c'est la division euclidienne de $425$ par $12$. » A-t-il raison ? Justifie.
4. d$23$ est-il un diviseur de $851$ ? Justifie.
5. eComplète avec « multiple » ou « diviseur » : « $7$ est un … de $98$ » et « $98$ est un … de $7$ ».
6. fQuel est le plus petit multiple de $16$ strictement supérieur à $500$ ?

Ex. 3★★★Chiffres manquants — Dans chaque nombre, ■ remplace un chiffre de $0$ à $9$. Justifie chaque réponse avec les critères de divisibilité.

1. aInès affirme : « $47■2$ se termine par $2$, il ne peut pas être divisible par $9$. » A-t-elle raison ? Justifie en trouvant ■.
2. bTrouve toutes les valeurs de ■ pour que $51■4$ soit divisible par $12$.
3. cPeut-on choisir ■ pour que $8■3$ soit divisible par $6$ ? Justifie.
4. dTrouve toutes les valeurs de ■ pour que $6■0$ soit divisible par $3$ sans être divisible par $9$.

Ex. 4★★★Tous les diviseurs, sans erreur — Pour les diviseurs de $144$, Malik écrit : $144 = 1 \times 144 = 2 \times 72 = 3 \times 48 = 4 \times 36 = 6 \times 24 = 8 \times 18 = 9 \times 16 = 12 \times 12$. Il conclut : « $144$ a $16$ diviseurs. »

1. aExplique l'erreur de Malik et donne le nombre exact de diviseurs de $144$.
2. bÉcris la liste de tous les diviseurs de $135$, dans l'ordre croissant.
3. cLes diviseurs d'un nombre, dans l'ordre croissant, sont $1$ ; $2$ ; $4$ ; $7$ ; $8$ ; ■ ; ■ ; ■. Quel est ce nombre ? Complète la liste.
4. dRose écrit : « Les diviseurs de $95$ sont $5$ et $19$. » Complète sa liste et explique ce qu'elle a oublié.

Ex. 5★★★Vrai ou faux : les critères piégés — Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse. Justifie avec un critère, une égalité ou un contre-exemple.

1. aLéna affirme : « $7\,426$ est divisible par $4$ car ses deux derniers chiffres, $2$ et $6$, sont pairs. »
2. bHugo affirme : « Un nombre divisible par $2$ et par $4$ est divisible par $8$. » Teste son affirmation sur $1\,124$.
3. c« Tout multiple de $9$ est aussi un multiple de $3$. »
4. dAmbre affirme : « $4\,512$ est divisible par $3$, donc il est divisible par $9$. »
5. e« Comme $1\,001 = 13 \times 77$, $13$ est un multiple de $1\,001$. »

Ex. 6★★★Le chiffre effacé de la cantine — Ce mois-ci, la cantine a servi $7\,2■2$ repas, mais une tache cache le chiffre des dizaines ■. La gérante donne des indices, un par question.

1. aPremier indice : le nombre de repas est divisible par $3$. Quelles valeurs ■ peut-il prendre ? Justifie.
2. bDeuxième indice : le nombre est aussi divisible par $4$. Quelles valeurs de ■ restent ? Explique pourquoi le nombre est alors divisible par $12$.
3. cTroisième indice : le nombre est aussi divisible par $9$. Trouve le nombre de repas servis.
4. dLes repas sont servis sur des plateaux de $8$. Pour le nombre trouvé, Tom écrit : nombre $= 8 \times 900 + 72$. Explique pourquoi ce n'est pas la division euclidienne, puis écris-la.

Ex. 7★★★Les chaises de la fête — Pour la fête du collège, Yanis doit disposer $196$ chaises en rangées qui ont toutes le même nombre de chaises.

1. aÉcris tous les diviseurs de $196$ en cherchant les produits égaux à $196$. Combien y en a-t-il ?
2. bYanis pense que $196$ a forcément un nombre pair de diviseurs, « puisqu'ils vont par deux ». A-t-il raison ? Justifie.
3. cYanis veut des rangées de $6$ chaises, « puisque $196$ est pair ». Est-ce possible ? Justifie.
4. dIl veut plus de $10$ chaises par rangée et plus de $3$ rangées. Donne toutes les dispositions possibles.

Ex. 8★★★Premier ou composé ? — Pour chaque nombre, dis s'il est premier ou composé. Justifie en une ligne : donne un produit, ou bien les divisions essayées.

Ex. 9★★★Chercher des nombres premiers — Réponds à chaque question en t'aidant des critères de divisibilité.

1. aÉcris tous les nombres premiers compris entre $1$ et $12$.
2. bCombien y a-t-il de nombres premiers entre $30$ et $50$ ? Écris-les.
3. cQuel est le plus petit nombre premier supérieur à $100$ ?
4. dQuel est le plus grand nombre premier inférieur à $120$ ?
5. eÉcris tous les nombres impairs compris entre $20$ et $40$ qui ne sont pas premiers.

Ex. 10★★★Tester un nombre premier — Teste les nombres premiers dans l'ordre : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$… et rédige ta réponse.

1. a$221$ est-il premier ? Justifie.
2. b$1\,007$ est-il premier ? Justifie.
3. cJusqu'à quel nombre premier faut-il aller pour tester $353$ ? Teste-le et conclus.

Ex. 11★★★Erreurs et affirmations — Lis chaque affirmation avec attention avant de répondre.

1. aTom écrit : « $391$ n'est divisible ni par $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, ni par $13$, donc il est premier. » A-t-il raison ? Justifie.
2. b« Un nombre qui n'est divisible ni par $2$, ni par $3$, ni par $5$ est premier. » Vrai ou faux ? Justifie.
3. c« Tous les nombres premiers sont impairs. » Vrai ou faux ? Justifie.
4. dMalik affirme : « $1$ est premier, car il n'est divisible que par $1$ et par lui-même. » Explique son erreur.

Ex. 12★★★Le cadenas d'Inès — Inès a oublié le code de son cadenas : elle sait seulement que c'est un nombre premier. Avec Hugo, elle s'entraîne d'abord à tester des nombres de trois chiffres.

1. aHugo dit : « Pour savoir si $437$ est premier, je dois essayer toutes les divisions jusqu'à $218$, la moitié de $437$. » Corrige sa méthode : jusqu'à quel nombre premier faut-il aller ?
2. b$437$ est-il premier ? Justifie en rédigeant le test.
3. cLe code d'Inès est le plus petit nombre premier plus grand que $437$. Trouve ce code et justifie.
4. dCombien de nombres premiers faut-il essayer, au plus, pour tester n'importe quel nombre de trois chiffres ? Justifie.

Ex. 13★★★Sommes de nombres premiers — Nora et Sacha jouent à écrire des nombres comme sommes de deux nombres premiers. Réponds à chaque question en justifiant.

1. aNora affirme : « La somme de deux nombres premiers est toujours paire. » Vrai ou faux ? Justifie.
2. bNora ajoute $2$ à un nombre premier. Trouve tous les nombres premiers inférieurs à $30$ pour lesquels le résultat est encore premier.
3. cÉcris $60$ comme somme de deux nombres premiers de toutes les façons possibles.
4. dSacha dit : « $51$ est impair, donc $51$ est premier. » A-t-il raison ? Justifie.
5. ePeut-on écrire $51$ comme somme de deux nombres premiers ? Justifie.

Ex. 14★★★Le crible de Zoé jusqu'à 150 — Zoé écrit les nombres de $1$ à $150$. Elle barre $1$, puis les multiples de $2$, de $3$, de $5$ et de $7$, sauf ces quatre nombres eux-mêmes. Elle s'arrête là, comme dans le crible jusqu'à $100$.

1. aLucas pense que Zoé aurait dû barrer $2$, parce que c'est un nombre pair. A-t-il raison ? Justifie.
2. bZoé pense que tous les nombres non barrés sont premiers. Trouve tous les nombres composés qu'elle a oublié de barrer. Justifie.
3. cÉcris tous les nombres premiers compris entre $120$ et $130$. Justifie.
4. dZoé affirme : « Il n'y a qu'un seul nombre premier entre $130$ et $140$. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 15★★★Automatismes : divisions successives — Décompose chaque nombre en produit de facteurs premiers par divisions successives, puis vérifie en recalculant le produit.

Ex. 16★★★Automatismes : aller-retour — Les facteurs sont rangés dans l'ordre croissant et regroupés avec des exposants.

1. aCalcule le nombre $2^3 \times 3^2 \times 7$.
2. bSachant que $1\,200 = 12 \times 100$, décompose $1\,200$ en produit de facteurs premiers.
3. cCalcule le nombre $3 \times 5^3 \times 11$.
4. dSans divisions successives, décompose $2\,700$ en produit de facteurs premiers.
5. eTrouve l'exposant manquant : $2^2 \times 7^{\dots} \times 13 = 2\,548$.
6. fSachant que $8\,800 = 88 \times 100$, décompose $8\,800$ en produit de facteurs premiers.

Ex. 17★★★Repérer et corriger l'erreur — Chaque élève a voulu décomposer un nombre en produit de facteurs premiers. Sa décomposition est-elle juste ? Justifie, puis corrige si besoin.

1. aNoé écrit : $360 = 2^2 \times 6 \times 15$.
2. bInès écrit : $252 \div 4 = 63$ ; $63 \div 9 = 7$, donc $252 = 4 \times 9 \times 7$.
3. cJade écrit : $750 \div 2 = 375$ ; $375 \div 3 = 125$ ; $125 \div 5 = 25$, donc $750 = 2 \times 3 \times 5$.
4. dSarah écrit : $1\,470 = 2 \times 3 \times 5 \times 7$.
5. eTom écrit : $990 = 1 \times 2 \times 3^2 \times 5 \times 11$.

Ex. 18★★★Exploiter une décomposition — On étudie le nombre $1\,125$.

1. aDécompose $1\,125$ en produit de facteurs premiers par divisions successives.
2. bSans poser de division, dis si $1\,125$ est divisible par $75$, puis par $27$. Justifie.
3. cConstruis le tableau de tous les diviseurs de $1\,125$, puis donne leur nombre.
4. dPar quel plus petit entier faut-il multiplier $1\,125$ pour obtenir un carré ? Écris ce carré sous la forme $a^2$.
5. ePar quel plus petit entier faut-il multiplier $1\,125$ pour obtenir un cube ? Écris ce cube sous la forme $b^3$.

Ex. 19★★★Carreaux et petits cubes — Une boutique vend des lots de $1\,176$ petits carreaux carrés et des lots de $1\,176$ petits cubes. Maëlys veut former un grand carré plein avec des carreaux. Yanis veut construire un grand cube plein avec des petits cubes. Chacun utilise tout le contenu des lots qu'il achète.

1. aDécompose $1\,176$ en complétant le tableau des divisions successives, regroupe avec des exposants, puis vérifie.

   Nombre	Diviseur premier
   1 176
   1

2. bLou affirme : « $1\,176$ est divisible par $8$ et par $6$, donc il est divisible par $48$. » Vrai ou faux ? Justifie avec la décomposition.
3. cAvec un seul lot, Maëlys peut-elle former un grand carré plein ? Justifie avec la décomposition.
4. dQuel est le plus petit nombre de lots que Maëlys doit acheter ? Combien de carreaux aura alors le côté du grand carré ?
5. eQuel est le plus petit nombre de lots que Yanis doit acheter ? Combien de petits cubes aura alors l'arête du grand cube ?

Ex. 20★★★La salle de spectacle — Pour le spectacle de fin d'année, Clément doit installer les $675$ chaises de la salle en rangées. Toutes les rangées doivent avoir le même nombre de chaises.

1. aSans divisions successives, écris $675$ comme le produit de $27$ par un entier, puis déduis-en la décomposition de $675$ en produit de facteurs premiers.
2. bComplète le tableau des diviseurs de $675$, puis donne le nombre de diviseurs de $675$.

   ×	1	3	9	27
   1
   5
   25

3. cClément veut au moins $10$ rangées et au moins $10$ chaises par rangée. Combien de nombres de rangées peut-il choisir ? Donne-les.
4. dClément voudrait un nombre pair de rangées. Est-ce possible ? Justifie avec la décomposition.
5. eL'an prochain, la salle aura $N = 2 \times 675$ chaises. Écris la décomposition de $N$, puis explique sans tout lister pourquoi $N$ a $24$ diviseurs.

Ex. 21★★★Le coffre de l'escape game — Dans un escape game, l'équipe de Zoé doit trouver un code. Le premier indice est le nombre $4\,862$.

1. aZoé calcule $4\,862 \div 2 = 2\,431$. Comme $2\,431$ n'est divisible ni par $3$, ni par $5$, ni par $7$, elle écrit : « $4\,862 = 2 \times 2\,431$ ». A-t-elle raison ? Justifie et termine la décomposition.
2. bVérifie ta décomposition de $4\,862$ en recalculant le produit.
3. cDeuxième indice : le code $C$ a $4$ chiffres. Ses facteurs premiers sont ceux de $4\,862$, avec un seul exposant égal à $2$ et les autres égaux à $1$. Trouve $C$ et justifie.
4. dDernier indice : le cadenas s'ouvre avec le seul diviseur de $C$ à $3$ chiffres qui est divisible par $4$ mais pas par $11$. Trouve-le, puis vérifie qu'il divise $C$.

Ex. 22★★★Automatismes : décomposer pour simplifier — Décompose le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers, puis réponds.

1. aRends $\dfrac{84}{126}$ irréductible.
2. bRends $\dfrac{120}{168}$ irréductible.
3. cRends $\dfrac{72}{200}$ irréductible.
4. dÉcris $\frac{270}{90}$ sous la forme la plus simple possible.
5. eRends $\dfrac{203}{319}$ irréductible.
6. fRends $\dfrac{385}{1\,155}$ irréductible.

Ex. 23★★★Automatismes : simplifier par étapes — Simplifie par étapes avec les critères de divisibilité, en indiquant chaque fois par quel nombre tu divises. Vérifie ensuite avec les décompositions qu'il ne reste aucun facteur premier commun.

Ex. 24★★★Des erreurs à corriger — Chaque élève se trompe. Explique son erreur, puis donne la bonne réponse.

1. aHugo écrit $\frac{5}{6}+\frac{1}{10}=\frac{50+6}{60}=\frac{56}{60}$ et affirme : « C'est le résultat final. »
2. bInès barre les 4 et écrit $\frac{4+9}{4+11}=\frac{9}{11}$.
3. cMalo écrit $\frac{2^2 \times 3 \times 5}{2 \times 3^2 \times 7}=\frac{5}{7}$ : « J'ai supprimé les 2 et les 3. »
4. dChloé affirme : « $\frac{33}{50}$ n'est pas irréductible, car ni 33 ni 50 ne sont premiers. »

Ex. 25★★★Calculer avec des fractions — Calcule et donne le résultat sous forme irréductible. Dans un produit, simplifie avant de multiplier. Dans une somme, prends pour dénominateur commun le plus petit multiple commun des dénominateurs.

Ex. 26★★★Les livres de la médiathèque — Une médiathèque possède $2\,520$ livres. Parmi eux, il y a $1\,512$ romans et $378$ bandes dessinées (BD). Les autres livres sont des documentaires.

1. aDécompose $2\,520$, $1\,512$ et $378$ en produits de facteurs premiers.
2. bQuelle fraction des livres est formée par les romans ? Donne-la sous forme irréductible.
3. cNora écrit : « Dans $\frac{378}{2\,520}$, j'ai barré une seule fois chaque facteur premier commun et j'obtiens $\frac{9}{60}$. » A-t-elle raison ? Justifie, puis donne la bonne fraction.
4. dCalcule avec les fractions trouvées aux questions précédentes la part des livres qui sont des documentaires. Vérifie ensuite ton résultat avec le nombre de documentaires.

Ex. 27★★★Vrai ou faux sur les fractions — Pour un quiz de classe, Ben propose cinq affirmations. Pour chacune, dis si elle est vraie ou fausse. Justifie avec des décompositions en produits de facteurs premiers ou par un calcul.

1. a« $\frac{5}{54}+\frac{7}{36}=\frac{31}{108}$, et ce résultat est irréductible. »
2. b« Si le numérateur d'une fraction est un nombre premier, alors la fraction est irréductible. »
3. c« $\frac{1\,587}{69}$ est égal à un nombre entier. »
4. d« $\frac{221}{323}$ ne se simplifie pas : 221 et 323 sont impairs et ne sont divisibles ni par 3 ni par 5. »
5. e« $\frac{35}{48} \times \frac{64}{63}=\frac{20}{27}$ »
   (simplifie avant de multiplier).

Ex. 28★★★Le code de l'escape game — Dans un escape game, Yanis doit rendre irréductible la fraction $\frac{616}{1\,144}$ pour ouvrir le premier cadenas. Il écrit : « $\frac{616}{1\,144}=\frac{308}{572}$, j'ai simplifié par 2, c'est fini. »

1. aContinue la simplification de Yanis par étapes avec les critères de divisibilité. Vérifie ensuite avec les décompositions qu'il ne reste plus aucun facteur commun.
2. bLe deuxième cadenas s'ouvre avec une fraction égale à $\frac{616}{1\,144}$ dont le numérateur et le dénominateur ont pour somme $380$. Trouve cette fraction.
3. cPour le dernier cadenas, montre sans poser la multiplication que $\frac{616}{1\,144} \times \frac{1\,859}{77}$ est égal à un nombre entier, et donne cet entier.

Ex. 29★★★Diviseurs et multiples communs à partir des décompositions — On donne $A = 2^3 \times 3 \times 5$, $B = 2^2 \times 3^2 \times 7$, $C = 5 \times 7 \times 13$ et $D = 2 \times 3 \times 11$.

1. aÉcris le plus grand diviseur commun de $A$ et $B$ sous forme décomposée, puis en entier.
2. bÉcris le plus petit multiple commun de $A$ et $B$ sous forme décomposée, puis en entier.
3. cQuel est le plus grand diviseur commun de $C$ et $D$ ? Justifie.
4. dCalcule $C \times D$. Est-ce le plus petit multiple commun de $C$ et $D$ ? Justifie.
5. eDécompose $84$ et $126$ en produit de facteurs premiers, puis donne leur plus grand diviseur commun.
6. fYanis dit : « Le plus petit multiple commun de $20$ et $28$ est $20 \times 28 = 560$. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 30★★★Partager ou se retrouver ? — Pour chaque situation, dis d'abord si tu cherches un diviseur commun ou un multiple commun, puis réponds.

1. aUn fleuriste a $56$ roses et $70$ tulipes. Il veut faire le plus de bouquets identiques possible avec toutes les fleurs. Combien de bouquets fait-il, et que contient chacun ?
2. bDeux bus partent ensemble à 7 h 50 ; l'un repasse toutes les $25$ min, l'autre toutes les $40$ min. À quelle heure repartent-ils de nouveau ensemble ?
3. cJade fait des sachets identiques avec $64$ caramels et $96$ sucettes, sans reste. Elle veut le plus de sachets possible : combien en fait-elle, et que contient chacun ?
4. dDeux coureurs partent ensemble de la ligne ; l'un boucle un tour en $50$ s, l'autre en $75$ s. Au bout de combien de temps (en min et s) repassent-ils ensemble sur la ligne ?

Ex. 31★★★Le carrelage de Malik — Malik veut carreler le sol d'une pièce rectangulaire de $330$ cm sur $210$ cm avec des carreaux carrés identiques, sans découpe. Le côté d'un carreau mesure un nombre entier de centimètres.

1. aDécompose $330$ et $210$ en produit de facteurs premiers.
2. bMalik pense prendre des carreaux de $15$ cm de côté. Est-ce possible sans découpe ? Justifie.
3. cQuel est le côté du plus grand carreau possible ? Justifie.
4. dCombien de carreaux de cette taille faut-il pour couvrir toute la pièce ?

Ex. 32★★★Le vélo de Sacha — Sur le vélo de Sacha, une chaîne relie le plateau ($48$ dents) au pignon ($18$ dents) : le même nombre de dents passe sur les deux roues. Au départ, un repère sur chaque roue est aligné avec la chaîne.

1. aDécompose $48$ et $18$ en produit de facteurs premiers.
2. bInès dit : « Les repères se retrouvent pour la première fois après $48 \times 18 = 864$ dents. » A-t-elle raison ? Justifie.
3. cCombien de tours fait chaque roue avant que les repères se retrouvent pour la première fois ?
4. dLe plateau a fait $15$ tours. Les deux repères sont-ils de nouveau à leur position de départ ? Justifie.

Ex. 33★★★Les colis de l'association — Une association a reçu $1\,260$ cahiers et $1\,512$ stylos. Elle veut préparer des colis identiques en utilisant tous les cahiers et tous les stylos. Elle veut faire le plus de colis possible.

1. aDécompose $1\,260$ et $1\,512$ en produit de facteurs premiers.
2. bNoé dit : « Je cherche le plus petit multiple commun de $1\,260$ et $1\,512$. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cCombien de colis l'association peut-elle préparer au maximum ? Donne la composition d'un colis.
4. dLe président voudrait faire $24$ colis. Est-ce possible ? Justifie.

Ex. 34★★★Les deux phares — Depuis la plage, Tom observe deux phares. Le premier s'allume toutes les $45$ s, le second toutes les $105$ s. À $21$ h pile, ils s'allument en même temps.

1. aDécompose $45$ et $105$ en produit de facteurs premiers.
2. bTom dit : « Ils se rallumeront ensemble dans $15$ s, car $15$ divise $45$ et $105$. » Corrige son erreur et donne la bonne durée en minutes et secondes.
3. cÀ quelle heure les phares s'allumeront-ils ensemble pour la troisième fois après $21$ h ?
4. dCombien de fois s'allument-ils ensemble après $21$ h et avant $22$ h ? Justifie.

Ex. 35★★★L'horloge de Lina — Dans l'horloge en bois de Lina, une roue de $54$ dents entraîne une roue de $72$ dents. Au départ, un repère est peint sur chaque roue, et les deux repères sont face à face.

1. aDécompose $54$ et $72$ en produit de facteurs premiers.
2. bCombien de dents passent avant que les repères soient de nouveau face à face pour la première fois ?
3. cCombien de tours fait chaque roue à ce moment-là ?
4. dOn remplace la roue de $72$ dents par une roue C (entre $20$ et $50$ dents). Les repères se retrouvent pour la première fois après $2$ tours de la roue de $54$ dents. Combien de dents a C ? Justifie.
5. eCombien de tours fait alors la roue C ?

Ex. 36★★★Automatismes : les divisions d'Euclide (complément) — Complément hors programme. Réponds en écrivant chaque division sous la forme $a = b \times q + r$.

1. aÉcris la division euclidienne de $888$ par $312$.
2. bOn a écrit $527 = 93 \times 5 + 62$. Écris la division suivante de l'algorithme d'Euclide.
3. cPour $1\,598$ et $646$, les divisions d'Euclide donnent les restes $306$, puis $34$, puis $0$. Donne PGCD$(1\,598\,;646)$.
4. dOn a $2\,415 = 345 \times 7 + 0$. Donne PGCD$(2\,415\,;345)$.
5. eCalcule PGCD$(4\,199\,;1\,547)$ avec l'algorithme d'Euclide.

Ex. 37★★★Automatismes : premiers entre eux (complément) — Deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur PGCD vaut $1$.

1. a$55$ et $84$ sont-ils premiers entre eux ? Justifie avec leurs décompositions.
2. bVrai ou faux ? « $91$ et $65$ sont premiers entre eux. » Justifie.
3. cVrai ou faux ? « Si deux nombres sont premiers entre eux, ils sont premiers. » Justifie avec $27$ et $64$.
4. dSans faire de division, donne PGCD$(2\,026\,;2\,027)$. Justifie.
5. eTrouve le seul nombre composé compris entre $20$ et $30$ qui est premier avec $12$.

Ex. 38★★★Hugo et les soustractions successives (complément) — Pour trouver le PGCD de $168$ et $72$, Hugo remplace le plus grand nombre par la différence des deux, jusqu'à obtenir deux nombres égaux.

1. aÉcris toutes les soustractions d'Hugo et donne le PGCD.
2. bRetrouve ce résultat avec l'algorithme d'Euclide. Combien de divisions faut-il ?
3. cRetrouve-le une troisième fois avec les décompositions en produit de facteurs premiers de $168$ et $72$.
4. dRends la fraction $\frac{168}{72}$ irréductible.

Ex. 39★★★L'erreur de Nadia (complément) — Nadia écrit : $1\,254 = 494 \times 2 + 266$ ; $494 = 266 \times 1 + 228$ ; $266 = 228 \times 1 + 38$ ; $228 = 38 \times 6 + 0$. Elle conclut : « PGCD$(1\,254\,;494) = 6$ ».

1. aA-t-elle raison ? Justifie et corrige sa conclusion.
2. bRends la fraction $\frac{1\,254}{494}$ irréductible.
3. cVérifie avec l'algorithme d'Euclide que le numérateur et le dénominateur que tu as obtenus sont premiers entre eux.

Ex. 40★★★Les boîtes du chocolatier (complément) — Complément hors programme. Un chocolatier a $2\,418$ truffes et $1\,365$ pralines. Il veut remplir le plus grand nombre possible de boîtes identiques, avec toutes ses truffes et toutes ses pralines.

1. aApplique l'algorithme d'Euclide à $2\,418$ et $1\,365$. Écris toutes les divisions et donne leur PGCD.
2. bCombien de boîtes peut-il faire au maximum ? Combien de truffes et de pralines y aura-t-il dans chaque boîte ?
3. cÉcris $\frac{1\,365}{2\,418}$ sous forme irréductible. Les deux termes obtenus sont-ils des nombres premiers ? Justifie.
4. dLe lendemain, il a toujours $1\,365$ pralines mais seulement $1\,053$ truffes. Sans nouvelle division, utilise la première question pour trouver le nombre maximal de boîtes et leur contenu.

Ex. 41★★★Les affirmations du club de maths (complément) — Complément hors programme. Au club de maths, Ben propose trois affirmations, puis un calcul sur le PGCD. Réponds en justifiant soigneusement.

1. aInès écrit $4\,284 = 357 \times 12 + 0$ et conclut : « PGCD$(4\,284\,;357) = 12$ ». A-t-elle raison ? Justifie.
2. bVrai ou faux : « $1\,001$ et $1\,003$ sont premiers entre eux, car ce sont deux nombres impairs qui se suivent. » Justifie.
3. cZoé affirme : « $2\,025$ et $1\,573$ ne sont pas premiers entre eux, puisque aucun des deux n'est premier. » A-t-elle raison ? Justifie avec l'algorithme d'Euclide.
4. dUtilise $4\,641 - 4\,284$ et la première question pour trouver PGCD$(4\,641\,;4\,284)$, puis rends $\frac{4\,284}{4\,641}$ irréductible.

Ex. 42★★★La terrasse de Yanis (complément) — Complément hors programme. Une terrasse de $1\,152$ cm sur $448$ cm doit être couverte de carreaux carrés identiques, sans découpe, les plus grands possible. Yanis écrit : $1\,152 = 448 \times 2 + 256$ ; $1\,152 = 256 \times 4 + 128$ ; $256 = 128 \times 2 + 0$. Il conclut : côté $128$ cm.

1. aExplique l'erreur de méthode de Yanis. Montre que $128$ cm ne convient pas, puis refais l'algorithme d'Euclide correctement.
2. bQuel est le côté du plus grand carreau possible ? Combien de carreaux faut-il alors ?
3. cRetrouve ce côté en décomposant $1\,152$ et $448$ en produits de facteurs premiers.
4. dLe carreleur n'a que des carreaux de $32$ cm ou de $48$ cm de côté. Lesquels peut-il poser sans découpe ? Justifie.

Ex. 43★★★Automatismes : décomposer et tester — Pour un test de primalité, arrête-toi dès que le carré du nombre premier essayé dépasse le nombre.

1. aDécompose $588$ en produit de facteurs premiers.
2. bDécompose $1\,089$ en produit de facteurs premiers.
3. c$391$ est-il premier ? Justifie.
4. dLéa écrit $343 = 7 \times 49$ et affirme que c'est la décomposition de $343$ en produit de facteurs premiers. A-t-elle raison ? Justifie.
5. eQuel nombre a pour décomposition en produit de facteurs premiers $2^3 \times 5 \times 13$ ?
6. f$97$ est-il premier ? Justifie.

Ex. 44★★★Automatismes : lire des décompositions — On donne $A = 2^3 \times 3^2 \times 5$, $B = 2^2 \times 3 \times 7$ et $C = 3 \times 5^2 \times 11$.

1. aCalcule $A$ et $B$.
2. bÉcris le plus grand diviseur commun de $A$ et $B$ sous forme de produit, puis calcule-le.
3. cÉcris le plus petit multiple commun de $A$ et $B$ sous forme de produit, puis calcule-le.
4. dMia affirme : « $B$ et $C$ n'ont aucun diviseur commun autre que $1$. » A-t-elle raison ? Justifie.
5. eSans calculer de division, dis si $2 \times 3^2 \times 5$ est un diviseur de $A$. Justifie.
6. fSans calculer de division, dis si $3^2 \times 7$ est un diviseur de $B$. Justifie.

Ex. 45★★★Vrai ou faux autour d'un programme de calcul — Programme de calcul : choisis un nombre entier, multiplie-le par lui-même, ajoute le nombre de départ, puis ajoute $41$.

1. aCalcule le résultat obtenu avec $5$. Ce résultat est-il premier ? Justifie.
2. bQuel nombre de départ donne le résultat $113$ ? Justifie.
3. c« Avec $40$, on obtient un carré parfait. » Vrai ou faux ? Justifie.
4. dZoé teste $1$, $2$ et $3$ : elle obtient $43$, $47$ et $53$, tous premiers. Elle conclut : « Le résultat est toujours premier. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 46★★★Former des équipes pour un cross — Pour un cross, un collège répartit $168$ filles et $252$ garçons en équipes. Toutes les équipes ont le même nombre de filles et le même nombre de garçons, et chaque élève est dans une équipe.

1. aDécompose $168$ et $252$ en produit de facteurs premiers.
2. bPeut-on former $8$ équipes ? Justifie.
3. cQuel est le plus grand nombre d'équipes possible ? Donne la composition de chaque équipe.
4. dLe professeur veut au moins $10$ élèves par équipe. Combien d'équipes peut-il former au maximum ? Donne leur composition.

Ex. 47★★★Le plateau et le pignon d'un vélo — Sur le vélo de Maëlle, le plateau a $48$ dents et le pignon $18$ dents. La chaîne les relie : à chaque instant, le même nombre de dents passe sur chaque roue. Maëlle peint un repère sur une dent de chaque roue, face à face sur la chaîne, puis elle pédale.

1. aDécompose $48$ et $18$ en produit de facteurs premiers.
2. bHugo affirme : « Les repères se retrouveront pour la première fois après $48 \times 18 = 864$ dents. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cCombien de tours chaque roue a-t-elle faits quand les repères se retrouvent pour la première fois ?
4. dMaëlle change de pignon. Les repères se retrouvent alors pour la première fois après $5$ tours du plateau et $12$ tours du pignon. Combien de dents a ce nouveau pignon ?

Ex. 48★★★Daller une terrasse sans découpe — Samir veut couvrir une terrasse rectangulaire de $756$ cm sur $540$ cm avec des dalles carrées toutes identiques, sans découpe et sans espace. Le côté d'une dalle mesure un nombre entier de centimètres.

1. aDécompose $756$ et $540$ en produit de facteurs premiers.
2. bQuel est le plus grand côté de dalle possible ? Combien de dalles faut-il alors ?
3. cThéo propose des dalles de $45$ cm de côté. Est-ce possible ? Justifie.
4. dLe magasin ne vend que des dalles de côté compris entre $30$ cm et $60$ cm. Quels côtés conviennent ? Lequel demande le moins de dalles, et combien ?

Ex. 49★★★Une feuille de tableur qui compte les diviseurs — Dans la colonne A d'une feuille de tableur, Inès écrit les entiers de $1$ à $200$. Dans la colonne B, une formule affiche le nombre de diviseurs de l'entier écrit à côté, dans la colonne A.

1. aQuel nombre s'affiche à côté de $1$ ? Inès dit que $1$ est premier. A-t-elle raison ? Justifie.
2. b$187$ est-il premier ? Justifie, puis donne le nombre affiché à côté de $187$.
3. cRédige un test de primalité pour $199$. Quel nombre s'affiche à côté de $199$ ?
4. dVrai ou faux ? « Si on multiplie deux nombres premiers, le tableur affiche toujours $4$ à côté du résultat. » Justifie.
5. eDécompose $196$ en produit de facteurs premiers, puis trouve à l'aide d'un tableau le nombre affiché à côté de $196$.