2nde / Arithmétique

Ex. 1★★★Automatismes : multiples et diviseurs — Calcule et justifie chaque réponse en une ligne.

1. aDonne le reste de la division euclidienne de $254$ par $9$. $254$ est-il un multiple de $9$ ?
2. bÉcris $168$ sous la forme $12\times k$ avec $k$ entier.
3. cInès affirme que $316$ n’est pas divisible par $4$, car $6$ n’est pas un multiple de $4$. A-t-elle raison ? Justifie.
4. dHugo affirme que $2\,506$ est divisible par $3$, car son chiffre des unités $6$ l’est. A-t-il raison ? Justifie.
5. eListe tous les diviseurs positifs de $84$ par paires.
6. fDonne le plus grand multiple de $13$ inférieur ou égal à $200$.

Ex. 2★★★Automatismes : nombres premiers et décomposition — Un nombre premier est un entier naturel qui a exactement deux diviseurs positifs. Réponds en justifiant.

1. a$1$ est-il un nombre premier ? Justifie.
2. bLéa affirme : « Tous les nombres premiers sont impairs. » A-t-elle raison ? Justifie.
3. cMontre que $51$ et $57$ ne sont pas des nombres premiers.
4. dÉcris la liste des nombres premiers inférieurs ou égaux à $30$.
5. eDécompose $360$ en produit de facteurs premiers.
6. fTom écrit : « $60=3\times4\times5$ est la décomposition de $60$ en facteurs premiers. » Corrige son erreur.

Ex. 3★★★Tableau de divisibilité et fausses implications — Recopie et complète le tableau par « oui » ou « non » à l’aide des critères de divisibilité, puis réponds.

1. aComplète le tableau en citant le critère utilisé pour chaque colonne.
2. bZoé affirme : « $714$ est divisible par $3$, donc il est divisible par $9$. » A-t-elle raison ? Justifie.
3. cMontre que tout multiple de $9$ est un multiple de $3$.
4. d$2\,148$ est divisible par $2$ et par $4$. Est-il divisible par $8$ ? Justifie.
5. e$714$ est divisible par $2$ et par $3$. Écris $714$ sous la forme $6\times k$ avec $k$ entier.

Ex. 4★★★Les bouquets de la fleuriste — Une fleuriste de Nantes dispose de $156$ roses et de $234$ tulipes. Elle veut composer des bouquets identiques (même nombre de roses et même nombre de tulipes dans chacun), en utilisant toutes ses fleurs.

1. aDécompose $126$ et $210$ en produits de facteurs premiers.
2. bDéduis-en le plus grand nombre de bouquets qu’elle peut composer.
3. cCombien de roses et combien de tulipes contient alors chaque bouquet ?
4. dElle hésite entre $26$ et $36$ bouquets. Lequel de ces choix est possible ? Justifie.

Ex. 5★★★Premier ou pas ? Enquête jusqu'à la racine — Un nombre premier est un entier naturel qui a exactement deux diviseurs positifs. Pour chaque question, rédige une justification complète.

1. aSoit $n$ un entier pair tel que $n\geqslant4$. Montre que $n$ n’est pas premier. Déduis-en que $2$ est le seul nombre premier pair.
2. bNina affirme : « $119$ est premier : il est impair, ne se termine pas par $5$ et n’est pas divisible par $3$. » Montre qu’elle a tort.
3. cDétermine si $437$ est premier en testant les nombres premiers dans l'ordre. Précise jusqu'où tu dois aller et pourquoi.
4. dMontre que $409$ est premier. Indique les nombres premiers testés et le critère d'arrêt.
5. eQue renvoient est_premier(1), est_premier(2), est_premier(437) et est_premier(409) ? À quoi sert n >= 2 ? def est_premier(n): d = 2 while d * d <= n: if n % d == 0: return False d = d + 1 return n >= 2

Ex. 6★★★Le nombre aux deux chiffres cachés — $a$ et $b$ désignent deux chiffres (de $0$ à $9$). On note $N$ le nombre à cinq chiffres qui s'écrit $6\,1\,a\,4\,b$. Par exemple, pour $a=2$ et $b=5$, on a $N=61\,425$.

1. aNoé affirme : « $N$ est divisible par $4$ dès que $b$ est pair. » Montre qu'il a tort, puis trouve toutes les valeurs de $b$ pour lesquelles $N$ est divisible par $4$.
2. bSacha affirme : « $N$ est divisible par $3$ dès que $b$ est un multiple de $3$. » A-t-il raison ? Justifie avec un exemple de $N$.
3. cDétermine toutes les valeurs de $N$ qui sont divisibles à la fois par $4$ et par $9$.
4. dVérifie que $N=100\times(610+a)+40+b$. Déduis-en que, si $40+b$ est un multiple de $4$, alors $N$ est un multiple de $4$.
5. ePour $a=7$ et $b=0$, décompose $N$ en produit de facteurs premiers, en utilisant d’abord les critères de divisibilité.

Ex. 7★★★Le carreleur de Grenoble — À Grenoble, un carreleur doit couvrir le sol rectangulaire d'une salle de $378$ cm sur $294$ cm. Il veut utiliser des dalles carrées identiques, dont le côté est un nombre entier de centimètres, sans aucune découpe ni chevauchement.

1. aDécompose $378$ et $294$ en produits de facteurs premiers.
2. bLe côté des dalles doit être le plus grand possible. Détermine ce côté à l'aide des décompositions. Justifie.
3. cCombien de dalles le carreleur doit-il poser avec ce côté ?
4. dLe magasin ne vend plus que des dalles de côté $25$ cm au plus. Liste par paires les diviseurs positifs du côté trouvé plus haut. Déduis-en le plus grand côté possible et le nombre de dalles.
5. eBen affirme : « En divisant le côté par $2$, il faut $2$ fois plus de dalles. » Compare les deux résultats précédents : a-t-il raison ? Justifie.

Ex. 8★★★Automatismes : ℕ, ℤ et multiples — Réponds en une ligne. Justifie avec une égalité ou une phrase courte.

1. aComplète par $\in$ ou $\notin$ : $-9\;\dots\;\mathbb{N}$ et $-9\;\dots\;\mathbb{Z}$.
2. bComplète par $\in$ ou $\notin$ : $\frac{36}{4}\;\dots\;\mathbb{N}$ et $\frac{-20}{5}\;\dots\;\mathbb{N}$.
3. cÉcris $-84$ sous la forme $12\times k$, avec $k$ entier.
4. dLe nombre $-8$ divise-t-il $96$ ? Justifie avec une égalité.
5. eVrai ou faux : « $0$ est un multiple de $23$ ». Justifie.
6. fLe nombre $0$ est-il un diviseur de $15$ ? Justifie.
7. gOn lit « $9$ divise $117$ ». Réécris cette phrase avec le mot « multiple ».

Ex. 9★★★Automatismes : oui ou non, avec la preuve — Réponds en une ligne, avec une égalité, un reste ou un encadrement.

1. aMontre que $247$ est un multiple de $13$.
2. bCalcule le reste de la division euclidienne de $500$ par $19$. Est-ce que $19$ divise $500$ ?
3. cEncadre $290$ entre deux multiples consécutifs de $11$. $290$ est-il un multiple de $11$ ?
4. dLa calculatrice affiche $400\div27\approx14{,}81$. Donne le plus grand multiple de $27$ inférieur ou égal à $400$.
5. eDonne le plus grand multiple de $16$ inférieur ou égal à $250$.
6. fLina affirme que le plus grand multiple de $8$ inférieur ou égal à $344$ est $336$. A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 10★★★Listes de diviseurs à vérifier — Inès donne cette liste des diviseurs positifs de $196$ : $1$, $2$, $4$, $7$, $14$, $14$, $28$, $49$, $98$.

1. aTrouve les deux erreurs d'Inès.
2. bPour lister les diviseurs positifs de $196$, jusqu'à quelle valeur de $d$ faut-il tester ? Justifie.
3. cDonne la liste correcte des diviseurs positifs de $196$, puis le nombre de diviseurs de $196$ dans $\mathbb{Z}$.
4. dPour $143$, Hugo teste $d$ de $1$ à $10$ seulement. Il ne trouve que $1$ et $143$, et conclut que $143$ est premier. A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 11★★★Python : corriger des erreurs — Ben veut une fonction qui renvoie le plus grand multiple de a inférieur ou égal à b, avec a $\geqslant1$. Il écrit : def plus_grand_multiple(a, b): m = 0 while m <= b: m = m + a return m

1. aPour tester si a est un multiple de b, Mattéo écrit a % b = 0 et Zoé écrit a / b == 0. Corrige-les.
2. bQue renvoie plus_grand_multiple(7, 30) avec le programme de Ben ? Explique pourquoi c'est faux.
3. cCorrige la condition du while, puis donne ce que renvoie alors plus_grand_multiple(7, 30).
4. dAvec le programme corrigé, combien de tours de boucle fait l'appel plus_grand_multiple(7, 30) ? Justifie.
5. eAvec le programme corrigé, que renvoie plus_grand_multiple(9, 5) ? Ce résultat est-il bien un multiple de $9$ ? Justifie.

Ex. 12★★★Problème : les chaises du concert — Pour un concert à Rennes, Camille doit placer $384$ chaises en rangées qui ont toutes le même nombre de chaises.

1. aListe les diviseurs positifs de $384$ par paires. Précise à quelle valeur de $d$ tu t’arrêtes et pourquoi.
2. bBen veut entre $10$ et $20$ chaises par rangée, et entre $20$ et $30$ rangées. Trouve toutes les dispositions possibles. Justifie.
3. cLéon propose des rangées de $23$ chaises. Il calcule $384\div23\approx16{,}7$ et annonce $17$ rangées complètes. A-t-il raison ? Donne le plus grand multiple de $23$ inférieur ou égal à $384$, puis le nombre de chaises restantes.
4. dCombien de chaises faut-il ajouter au minimum pour que toutes les chaises forment des rangées complètes de $23$ ? Justifie.

Ex. 13★★★Python : les paires de diviseurs de 225 — Lucie écrit cette fonction pour afficher les paires de diviseurs positifs d’un entier a $\geqslant1$ : def diviseurs(a): d = 1 while d * d <= a: if a % d == 0: print(d, a // d) d = d + 1

1. aÉcris exactement ce qu’affiche diviseurs(225).
2. bCombien de tours de boucle sont effectués pour a $=225$ ? Justifie.
3. cLucie dit que $225$ a $10$ diviseurs positifs, car il y a $5$ paires. A-t-elle raison ? Justifie.
4. dMontre que s’arrêter dès que $d\times d>225$ ne fait manquer aucun diviseur.
5. eLucie remplace d * d <= a par d <= a. Combien de tours fait alors la boucle pour a $=225$ ? Qu’est-ce qui change dans l’affichage ?

Ex. 14★★★Dans ℤ : signes, zéro et sens de la phrase — Dans cet exercice, tous les nombres sont des entiers relatifs. Rédige chaque justification avec une égalité $a=b\times k$ où $k$ est un entier.

1. aMontre que $-26$ divise $260$. Le quotient $\frac{260}{-26}$ appartient-il à $\mathbb{N}$ ? Appartient-il à $\mathbb{Z}$ ?
2. bVrai ou faux : « $0$ et $260$ ont les mêmes diviseurs positifs ». Justifie.
3. cNadia écrit : « $260=13\times20$, donc $260$ divise $13$ ». Corrige sa phrase, puis montre que $260$ ne divise pas $13$.
4. dMontre que $-7$ ne divise pas $260$. Utilise deux multiples consécutifs de $7$.

Ex. 15★★★Sommes, différences et critères — Réponds à chaque question en justifiant.

1. aOn donne $221=13\times17$ et $104=13\times8$. Écris $221+104$ et $221-104$ sous la forme $13\times K$ avec $K$ entier.
2. bAvec les nombres de la question précédente, justifie sans poser de division que $221\times6+104$ est un multiple de $13$.
3. cLe nombre $7\,452$ est-il divisible par $4$ ? par $9$ ? Justifie avec les critères.
4. dJustifie que $0$ et $-104$ sont des multiples de $13$.

Ex. 16★★★Mettre $n$ en facteur — Dans tout l’exercice, $n$ désigne un entier.

1. aÉcris $14n+21$ sous la forme $7\times K$, avec $K$ entier, et conclus.
2. bDéveloppe et réduis $8n-4(n-5)$, puis montre que le résultat est un multiple de $4$.
3. cMontre que $(n+5)^2-(n-1)^2$ est un multiple de $12$.
4. dMontre que $12n+18$ est un multiple de $6$, puis justifie que ce n’est pas toujours un multiple de $12$.
5. eMontre que la somme des trois entiers consécutifs $n$, $n+1$ et $n+2$ est un multiple de $3$.

Ex. 17★★★Démontrer ou réfuter — Vrai ou faux ? Justifie par une démonstration ou par un contre-exemple.

1. a« La somme de deux multiples de $3$ est toujours un multiple de $6$. »
2. b« Pour tout entier $n$, $(n+2)^2-n^2$ est un multiple de $8$. »
3. c« La somme d’un multiple de $4$ et d’un multiple de $6$ est toujours un nombre pair. »
4. dSami a vérifié que $2n^2+4$ est un multiple de $4$ pour $n=0$, $n=2$ et $n=4$. Il en conclut : « C’est vrai pour tout entier $n$. »

Ex. 18★★★Une preuve à corriger, un nombre « abba » — Inès veut montrer que la différence de deux multiples de $9$ est un multiple de $9$. Elle écrit : « $a=9k$ et $b=9k$, donc $a-b=9k-9k=0=9\times0$. C’est un multiple de $9$. »

1. aExplique pourquoi la démonstration d’Inès ne prouve pas la propriété.
2. bRédige une démonstration correcte.
3. cUn nombre à quatre chiffres « abba », où $a\neq0$ et $b$ sont des chiffres, s’écrit $1000a+100b+10b+a$. Montre que c’est un multiple de $11$.
4. dDéduis-en, sans poser de division, que $3\,553$ est un multiple de $11$, puis donne le quotient.

Ex. 19★★★Des entiers consécutifs — Dans tout l’exercice, $n$ désigne un entier. Sofia calcule $4+5+6+7+8=30$, $11+12+13+14+15=65$ et $20+21+22+23+24=110$. Elle affirme : « La somme de cinq entiers consécutifs est toujours un multiple de $5$. C’est démontré. »

1. aSofia a-t-elle démontré sa propriété ? Justifie.
2. bMontre que, pour tout entier $n$, la somme de cinq entiers consécutifs est un multiple de $5$.
3. cVrai ou faux ? « La somme de quatre entiers consécutifs est toujours un multiple de $4$. » Justifie.
4. dPour $n\in\mathbb{N}$, écris $n+(n+1)+(n+2)+(n+3)$ sous la forme $4K+r$, avec $K$ entier et $0\leqslant r<4$. Que peux-tu en conclure ?
5. eMontre que la somme de deux nombres impairs consécutifs est un multiple de $4$.

Ex. 20★★★Pourquoi le critère de divisibilité par $9$ marche — Un entier $N$ à trois chiffres s’écrit « $abc$ » : $a$ est le chiffre des centaines ($a\neq0$), $b$ celui des dizaines et $c$ celui des unités, donc $N=100a+10b+c$. On note $M$ le nombre « $cba$ », avec $c\neq0$.

1. aMontre que $N-(a+b+c)$ est un multiple de $9$.
2. bDéduis-en que si $a+b+c$ est un multiple de $9$, alors $N$ est un multiple de $9$.
3. cMontre que $N-(a+b+c)$ est aussi un multiple de $3$. Quel critère de divisibilité obtiens-tu ?
4. dÉcris $M$ en fonction de $a$, $b$ et $c$, puis montre que $N-M$ est un multiple de $99$. Attention aux signes.
5. eVrai ou faux ? « $N+M$ est toujours un multiple de $101$. » Justifie.

Ex. 21★★★Comme en DS : multiple de $3$, de $6$, de $40$ ? — Dans tout l’exercice, $n$ désigne un entier relatif. Lina veut savoir si $6n+15$ peut être un multiple de $6$. Elle écrit la fonction ci-dessous. Yanis, lui, étudie les multiples de $10$ et de $4$.

1. aMontre que $6n+15$ est un multiple de $3$, puis explique pourquoi ce n’est jamais un multiple de $6$.
2. bdef test(N): for n in range(N): if (6 * n + 15) % 6 == 0: return n return -1Qu’affiche print(test(1000)) ? Ce résultat suffit-il à démontrer la propriété ? Justifie.
3. cYanis affirme : « Un entier qui est un multiple de $10$ et de $4$ est forcément un multiple de $40$. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dMontre que le produit d’un multiple de $10$ par un multiple de $4$ est un multiple de $40$. Choisis bien tes lettres.

Ex. 22★★★Écrire sous la forme 2k ou 2k + 1 — Écris chaque nombre sous la forme $2K$ ou $2K+1$ avec $K$ entier, puis conclus : pair ou impair ? Dans les trois derniers items, $k$ est un entier.

Ex. 23★★★Parité sans poser le calcul — Utilise le tableau de parité de la somme et du produit, ou un contre-exemple.

1. aDonne la parité de $357+849$ sans poser l'addition.
2. bDonne la parité de $357\times849$ sans poser la multiplication.
3. cLe produit $1\,246\times3\,579$ peut-il valoir $4\,459\,433$ ? Justifie sans poser la multiplication.
4. dLes entiers $2\,187$ et $2\,188$ sont consécutifs. Donne la parité de leur produit, puis celle de leur somme.
5. ePour n = 4471, que vaut n % 2 ? Qu'affiche print(n % 2 == 0) ? Conclus sur la parité de $4\,471$.
6. fSacha affirme : « Un entier impair s'écrit $3k$ avec $k$ entier. » Est-ce vrai ? Justifie par un contre-exemple.
7. gSelon Noa, un nombre de la forme $k+1$, avec $k$ entier, est toujours impair. Est-ce vrai ? Justifie.

Ex. 24★★★La démonstration d'Inès — Inès veut montrer que la somme de deux entiers impairs est paire. Elle écrit : « Soit $a=2k+1$ et $b=2k+1$ deux impairs. Alors $a+b=4k+2=2(2k+1)$, donc $a+b$ est pair. »

1. aQuelle erreur commet Inès ? Donne deux impairs que sa démonstration ne couvre pas.
2. bRédige une démonstration correcte : pour tous impairs $a$ et $b$, $a+b$ est pair.
3. cSoit $a$ et $b$ deux entiers impairs. Montre que $a\times b+a$ est pair.
4. dVrai ou faux : « La somme de trois entiers impairs est paire. » Justifie.

Ex. 25★★★Pour tout entier n : deux cas — Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier.

1. aFactorise $n^2+n$, puis montre par disjonction des cas que $n^2+n$ est pair pour tout entier $n$.
2. bDéduis-en la parité de $n^2+3n+1$ pour tout entier $n$.
3. cQu'affiche ce programme ? Explique ce résultat à l'aide de la question précédente. c = 0 for n in range(51): if (n*n + 3*n + 1) % 2 == 0: c = c + 1 print(c)
4. dVrai ou faux : « Pour tout entier $n$, $n+(n+1)$ est pair. » Justifie.

Ex. 26★★★Impair au carré, moins un — Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier impair, sauf à la question 4.

1. aÉcris $n=2k+1$ avec $k\in\mathbb{Z}$. Montre que $n^2-1=4k(k+1)$.
2. bExplique pourquoi $k(k+1)$ est pair. Déduis-en que $n^2-1$ est un multiple de $8$.
3. cPour $n=-7$, donne l'entier $k$ tel que $-7=2k+1$. Vérifie le résultat de la question 2 en calculant $(-7)^2-1$ et $4k(k+1)$.
4. dLucas affirme : « Si $n^2-1$ est un multiple de $8$, alors $n$ est impair. » A-t-il raison ? Justifie en étudiant le cas où $n$ est pair.
5. eSans calculer $2\,025^2$, justifie que $2\,025^2-1$ est un multiple de $8$.

Ex. 27★★★Une expression dont la parité dépend de n — Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier et $A=n^2+2n+7$.

1. aComplète le tableau, puis fais une conjecture sur la parité de $A$ selon celle de $n$.

   n	0	1	2	−3
   A	…	…	…	…
   Parité de A	…	…	…	…

2. bDémontre ta conjecture, en traitant le cas $n=2k$ puis le cas $n=2k+1$, avec $k$ entier.
3. cQue renvoie compte(100) ? Justifie sans exécuter le programme. def compte(N): c = 0 for n in range(N): if (n**2 + 2*n + 7) % 2 == 0: c = c + 1 return c
4. dLe nombre $2\,026$ peut-il s'écrire $n^2+2n+7$ avec $n$ pair ? Justifie.
5. eMaël affirme : « Si $A$ est pair, alors $n$ est impair. » A-t-il raison ? Justifie à l'aide de la question 2.

Ex. 28★★★Somme des carrés de deux impairs — Dans les questions 1 à 4, $a$ et $b$ désignent deux entiers impairs, pas forcément égaux.

1. aYanis écrit $a=2k-1$ avec $k$ entier. Justifie que cette écriture décrit bien un nombre impair.
2. bOn écrit $a=2k+1$ et $b=2p+1$, avec $k$ et $p$ entiers. Écris $a^2+b^2$ sous la forme $4M+2$, avec $M$ entier.
3. cDéduis-en que $a^2+b^2$ est pair, mais n'est jamais un multiple de $4$.
4. dVérifie avec $a=7$ et $b=9$. Existe-t-il deux impairs dont la somme des carrés vaut $2\,024$ ? Justifie.
5. eLina affirme : « Si $a$ et $b$ sont des entiers et si $a^2+b^2$ est un multiple de $4$, alors $a$ et $b$ sont pairs. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 29★★★Automatismes : la parité d'un carré — Réponds en une ou deux lignes. Justifie chaque réponse.

1. aSans calculer $43^2$, dis si ce nombre est pair ou impair.
2. bSans calculatrice, dis si $(-34)^2$ est un multiple de $4$.
3. cLéna écrit $(2k+1)^2=4k^2+1$. Corrige son calcul.
4. dUn entier $n$ vérifie $n^2=2\,116$. Dis si $n$ est pair ou impair.
5. eUn entier $n$ vérifie $n^2=3\,025$. Dis si $n$ est pair ou impair.
6. fDis si $2\,018$ peut être le carré d'un entier pair.

Ex. 30★★★Tableau de parité de n et de n² — Recopie et complète le tableau ligne par ligne, en justifiant chaque parité par une écriture $2K$ ou $2K+1$, avec $K$ entier. Ici $k$ est un entier.

1. aComplète la ligne $n=-9$.
2. bComplète la ligne $n=0$.
3. cComplète la ligne $n=2k$ en écrivant $n^2$ sous la forme $2K$, où $K$ est un entier.
4. dComplète la ligne $n=2k+1$ en écrivant $n^2$ sous la forme $2K+1$, où $K$ est un entier.
5. eQue remarques-tu sur la parité de $n$ et celle de $n^2$ ? Rédige une phrase.

Ex. 31★★★Réciproque ou contraposée ? — Hugo veut démontrer : « si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair ». Il écrit : « Soit $n$ pair, $n=2k$. Alors $n^2=4k^2=2\times2k^2$, donc $n^2$ est pair. »

1. aQuelle propriété Hugo a-t-il réellement démontrée ? Est-ce celle qu'il voulait ? Justifie.
2. bÉnonce la contraposée de « si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair ».
3. cDémontre cette contraposée, puis conclus.
4. dJade affirme : « si $n^2$ est un multiple de $4$, alors $n$ est un multiple de $4$ ». Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 32★★★Toujours pair, et même plus — Dans cet exercice, $n$, $k$ et $p$ désignent des entiers.

1. aMontre que $n^2+n$ est pair pour tout entier $n$, en traitant le cas où $n$ est pair et le cas où $n$ est impair.
2. bDéduis-en que $n^2-n$ est pair pour tout entier $n$.
3. cMontre que $n^2+3n+5$ est impair pour tout entier $n$, en utilisant la première question.
4. dSoit $a=2k+1$ et $b=2p+1$ deux entiers impairs. Montre que $a^2-b^2=4(k^2+k)-4(p^2+p)$, puis que $a^2-b^2$ est un multiple de $8$.

Ex. 33★★★Le carré d'un impair, moins 1 — Dans cet exercice, $n$ est un entier impair et $k$ est un entier tel que $n=2k+1$.

1. aLina calcule $3^2-1=8$, $5^2-1=24$ et $7^2-1=48$ : ce sont tous des multiples de $8$. Elle écrit : « C'est démontré pour tout impair. » A-t-elle raison ? Justifie.
2. bDéveloppe $n^2-1$ et montre que $n^2-1=4k(k+1)$.
3. cJustifie que $k(k+1)$ est pair pour tout entier $k$, en utilisant deux entiers consécutifs.
4. dDéduis-en que $n^2-1$ est un multiple de $8$ pour tout entier impair $n$.
5. eSans calculer $2\,027^2$, justifie que $2\,027^2-1$ est un multiple de $8$, puis écris-le sous la forme $8\times K$, avec $K$ entier.

Ex. 34★★★La somme de deux carrés impairs — Dans cet exercice, $a$ et $b$ sont deux entiers impairs, pas forcément égaux, et $k$, $p$, $q$ désignent des entiers.

1. aMalik pose $a=2k+1$ et $b=2k+1$. Explique son erreur, puis donne deux impairs que son calcul ne permet pas de traiter.
2. bOn pose $a=2k+1$ et $b=2p+1$. Montre que $a^2+b^2=4(k^2+k+p^2+p)+2$.
3. cDéduis-en que $a^2+b^2$ est pair, mais que ce n'est pas un multiple de $4$.
4. dExiste-t-il un entier $c$ tel que $a^2+b^2=c^2$ ? Justifie, en étudiant d'abord la parité de $c$.

Ex. 35★★★Un carré s'écrit 4K ou 4K + 1 — Dans cet exercice, $n$, $k$ et $K$ désignent des entiers.

1. aSoit $n$ un entier impair, $n=2k+1$. Montre que $n^2$ s'écrit $4K+1$, avec $K$ entier.
2. bSoit $n$ un entier pair, $n=2k$. Montre que $n^2$ est un multiple de $4$, et pas seulement de $2$.
3. cDéduis-en que, pour tout entier $n$, le nombre $n^2$ s'écrit $4K$ ou $4K+1$, avec $K$ entier.
4. dSans chercher de racine carrée, justifie que $4\,078$ n'est le carré d'aucun entier.
5. eGabin affirme : « $2\,019$ est la somme de deux carrés d'entiers. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 36★★★Premier ou pas ? — Réponds en justifiant brièvement.

1. aLe nombre $1$ est-il premier ? Justifie.
2. bSans calcul long, justifie que $358$ n'est pas premier.
3. cPour savoir si $127$ est premier, Lina teste tous les entiers de $2$ à $63$. Quels diviseurs premiers suffit-il de tester ? Conclus.
4. dMontre que $143$ n'est pas premier en l'écrivant comme produit de deux entiers supérieurs ou égaux à $2$.
5. eTrouve le plus petit diviseur premier de $221$.
6. fÉcris $323$ comme produit de deux nombres premiers.
7. gListe les nombres premiers compris entre $100$ et $120$.

Ex. 37★★★Décompositions en facteurs premiers — Écris les décompositions avec des puissances regroupées.

1. aDécompose $504$ en facteurs premiers : divise successivement par $2$, puis par $3$, etc., en notant les quotients.
2. bDécompose $1\,265$ en produit de facteurs premiers.
3. cCalcule le nombre dont la décomposition est $2^4\times3\times5^2$.
4. dThéo écrit $600=4\times6\times25$ et dit que c'est sa décomposition en facteurs premiers. Corrige-le.
5. eNora écrit $180=2^2\times3^2\times5$ et Yanis écrit $180=5\times3^2\times2^2$. L'un des deux s'est-il trompé ? Justifie.
6. fLe nombre $A=2^2\times3^4\times7^3$ est-il le carré d'un entier ? Justifie à l'aide des exposants, sans calculer $A$.

Ex. 38★★★Une fraction à rendre irréductible — On considère la fraction $\frac{1\,176}{1\,260}$.

1. aDécompose $1\,176$ et $1\,260$ en produits de facteurs premiers.
2. bDéduis-en le plus grand diviseur commun de $1\,176$ et $1\,260$.
3. cRends la fraction $\frac{1\,176}{1\,260}$ irréductible. Justifie qu'elle l'est.
4. dClara écrit $\frac{14+21}{14+35}=\frac{21}{35}=\frac{3}{5}$ en barrant les $14$. Explique son erreur et donne le bon résultat sous forme irréductible.

Ex. 39★★★Un test de primalité en Python — On considère la fonction suivante. def premier(n): d = 2 while d * d <= n: if n % d == 0: return False d = d + 1 return n >= 2

1. aQue renvoient premier(1) et premier(2) ? Pour chacun, précise si on entre dans la boucle while.
2. bDonne les valeurs de d testées pour premier(187) et ce que renvoie la fonction.
3. cPour premier(131), avec quelle valeur de d la boucle s'arrête-t-elle ? Que renvoie la fonction ?
4. dMalo remplace la ligne d = d + 1 par d = d + 2. Que renvoie alors premier(15) ? Ce résultat est-il correct ? Justifie.
5. eIlan remplace d * d <= n par d <= n // 2. Pour premier(97), combien de valeurs de d sont testées dans chaque version ? Laquelle est préférable ? Justifie.

Ex. 40★★★Quand $n^2-1$ est-il premier ? — Dans cet exercice, $n$ désigne un entier naturel.

1. aDéveloppe $(n-1)(n+1)$.
2. bCalcule $n^2-1$ pour $n=2$, $n=14$ et $n=20$, puis décompose chaque résultat en facteurs premiers à l'aide de la question précédente.
3. cMontre que, pour tout entier $n\geqslant3$, le nombre $n^2-1$ n'est pas premier.
4. dOn pose $N=2^4\times3^2\times5^2$. Montre que $N$ est le carré d'un entier que tu préciseras, puis décompose $N-1$ en facteurs premiers sans calculatrice.

Ex. 41★★★Carreler un mur — Inès veut couvrir un mur rectangulaire de $360$ cm de large et $252$ cm de haut avec des carreaux carrés identiques, sans découpe ni espace. Le côté d'un carreau est un nombre entier de centimètres.

1. aDécompose $360$ et $252$ en facteurs premiers : divise successivement par $2$, puis par $3$, etc., en notant les quotients.
2. bDéduis-en le plus grand côté possible pour les carreaux. Justifie.
3. cCombien de carreaux de ce côté faut-il pour couvrir le mur ?
4. dLe vendeur propose des carreaux de $24$ cm de côté. Conviennent-ils ? Justifie à l'aide des décompositions.
5. eDonne toutes les longueurs possibles du côté d'un carreau, en utilisant les facteurs premiers communs.

Ex. 42★★★Jusqu'où tester ? — Pour savoir si un entier $n\geqslant2$ est premier, Hugo teste tous les diviseurs possibles jusqu'à $\frac{n}{2}$. Ben lui conseille de s'arrêter dès que $d\times d>n$. On considère la fonction suivante, incomplète. def plus_petit_diviseur(n): d = 2 while ...: if n % d == 0: return d d = d + 1 return n

1. aOn suppose que $n=a\times b$ avec $a$ et $b$ entiers et $2\leqslant a\leqslant b$. Montre que $a\times a\leqslant n$, puis explique pourquoi la méthode de Ben suffit.
2. bApplique la méthode de Ben à $409$ : quels nombres premiers dois-tu tester ? Conclus.
3. cDécompose $391$ en facteurs premiers, en testant les nombres premiers dans l'ordre.
4. dComplète la condition de la boucle while selon la méthode de Ben, puis donne ce que renvoient plus_petit_diviseur(391) et plus_petit_diviseur(409).
5. eExplique pourquoi la fonction renvoie $2$ pour tout entier pair $n\geqslant4$, puis pourquoi un tel entier n'est pas premier.

Ex. 43★★★Automatismes : simplifier par les facteurs premiers — Décompose le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers, puis écris la fraction sous forme irréductible (ou sous forme d'un entier si c'est possible).

Ex. 44★★★Automatismes : un résultat de calcul sous forme irréductible — Calcule, puis donne le résultat sous forme d'une fraction irréductible.

Ex. 45★★★Quatre élèves, quatre affirmations — Pour chaque affirmation, dis si l'élève a raison et justifie. Si l'élève a tort, corrige son calcul.

1. aInès écrit $\frac{60}{132}=\frac{30}{66}$ et affirme que $\frac{30}{66}$ est irréductible.
2. bMalo écrit $\dfrac{4+9}{4+15}=\dfrac{9}{15}=\dfrac{3}{5}$.
3. cLucie écrit $\dfrac{26}{-39}=-\dfrac{2}{3}$.
4. dYanis affirme : « $\frac{119}{153}$ est irréductible, car $119$ et $153$ sont tous les deux impairs. »

Ex. 46★★★La chorale de Quimper — La chorale de Quimper compte $378$ membres. Parmi eux, $210$ sont des femmes et les autres sont des hommes.

1. aCalcule le nombre d'hommes. Décompose ensuite $210$, $378$ et ce nombre en produits de facteurs premiers.
2. bQuelle fraction des membres sont des femmes ? Donne-la sous forme irréductible.
3. cDonne le rapport « nombre de femmes sur nombre d'hommes » sous la forme d'une fraction irréductible.
4. dLe jour du concert, $221$ membres sont présents. Lina affirme : « $\frac{221}{378}$ se simplifie, car les deux nombres sont grands. » A-t-elle raison ? Justifie.
5. ePour un festival, la chorale chante avec celle de Brest, qui compte $252$ membres dont $140$ femmes. Quelle fraction des chanteurs réunis sont des femmes ? Donne-la sous forme irréductible.

Ex. 47★★★Deux entiers consécutifs — Dans cet exercice, $n$ est un entier naturel non nul. On cherche quand les fractions $\frac{n}{n+1}$ et $\frac{n}{n+2}$ sont irréductibles.

1. aDécompose $224$ et $225$ en produits de facteurs premiers. La fraction $\frac{224}{225}$ est-elle irréductible ? Justifie.
2. bSoit $d$ un entier positif qui divise $n$ et $n+1$. Montre qu'il existe un entier $q$ tel que $1=d\times q$.
3. cDéduis-en que $d=1$, puis que $\frac{n}{n+1}$ est irréductible pour tout entier $n\geqslant1$.
4. dSacha affirme : « pour tout entier $n\geqslant1$, $\frac{n}{n+2}$ est irréductible ». Vrai ou faux ? Justifie.
5. eOn suppose maintenant que $n$ est impair. En t'inspirant de ce qui précède, montre que $\frac{n}{n+2}$ est irréductible.

Ex. 48★★★Contrôle : signes, produits et sommes — On pose $A=\frac{-84}{126}$, $B=\frac{84}{-126}$ et $C=\frac{-1\,176}{-84}$.

1. aDécompose $84$, $126$ et $1\,176$ en produits de facteurs premiers.
2. bÉcris $A$ et $B$ sous forme de fractions irréductibles. Que remarques-tu ?
3. cÉcris $C$ le plus simplement possible. Justifie.
4. dCalcule $A\times\frac{45}{-28}$ et donne le résultat sous forme d'une fraction irréductible.
5. eCalcule $A+\frac{1}{C}$ et donne le résultat sous forme d'une fraction irréductible.

Ex. 49★★★Le club d'escalade d'Annecy — Le club d'escalade d'Annecy compte $924$ membres, dont $385$ juniors ; les autres sont des adultes. Pour simplifier une fraction $\frac{a}{b}$ ($a$ et $b$ entiers naturels non nuls), Ben a écrit la fonction ci-dessous. def simplifie(a, b): d = 2 while d <= a: if a % d == 0 and b % d == 0: a, b = a // d, b // d else: d = d + 1 return a, b

1. aDécompose $385$ et $924$ en produits de facteurs premiers. Écris la proportion de juniors du club sous forme d'une fraction irréductible.
2. bCalcule le nombre d'adultes. Écris ensuite, sous forme irréductible, la proportion d'adultes et le rapport $\frac{\text{nombre de juniors}}{\text{nombre d'adultes}}$.
3. cLe club répartit tous ses membres en équipes identiques (même nombre de juniors et même nombre d'adultes dans chaque équipe). Combien d'équipes au plus ? Avec combien de juniors et d'adultes chacune ?
4. dQu'affiche print(simplifie(40, 112)) ? Donne les valeurs successives de a et b.
5. eMia supprime la ligne else: : d = d + 1 est alors exécuté à chaque tour de boucle. Qu'afficherait print(simplifie(50, 75)) ? Explique pourquoi le résultat est faux.