Sixième / Angles

Ex. 1★★★Sommet et côtés d'après la notation — Réponds à chaque question sans figure.

1. aQuel est le sommet de l'angle $\widehat{FGH}$ ?
2. bQuels sont les côtés de l'angle $\widehat{TRS}$ ?
3. cÉcris avec trois lettres l'angle de sommet L dont les côtés sont [LK) et [LM).
4. dOn sait que $\widehat{UVW} = 37^\circ$. Combien mesure $\widehat{WVU}$ ? Explique.

Ex. 2★★★Plusieurs noms pour un même angle — Le point D est sur la demi-droite [PN) et le point F est sur la demi-droite [PE).

1. aÉcris l'angle marqué avec trois lettres, de deux façons différentes.
2. bÉcris une autre notation de l'angle marqué en utilisant le point D.
3. cOn sait que $\widehat{NPE} = 128^\circ$. Combien mesure $\widehat{NPF}$ ? Explique.

Ex. 3★★★Trois demi-droites, trois angles — Les demi-droites [SK), [SR) et [SU) ont la même origine S. On sait que $\widehat{KSR} = 35^\circ$ et $\widehat{RSU} = 62^\circ$.

1. aNomme avec trois lettres tous les angles de sommet S formés par ces demi-droites.
2. bZoé parle de « l'angle S ». Explique pourquoi ce nom ne suffit pas ici, puis nomme correctement le plus petit angle.
3. cLes angles $\widehat{KSR}$ et $\widehat{RSU}$ sont côte à côte. Calcule la mesure de l'angle formé par [SK) et [SU).

Ex. 4★★★Les erreurs de Camille sur le toit — Voici le pignon d'un toit. On sait que $\widehat{BAC} = 32^\circ$ et $\widehat{ABC} = 116^\circ$. Camille a écrit des phrases fausses.

1. aCamille dit : « $\widehat{BAC}$ et $\widehat{ABC}$, c'est le même angle : ce sont les mêmes lettres. » Explique son erreur.
2. bCamille écrit : « Les côtés de $\widehat{ABC}$ sont les segments [BA] et [BC]. » Corrige sa phrase.
3. cNomme avec trois lettres l'angle du toit qui a pour sommet C.

Ex. 5★★★L'horloge de 4 h 30 — À 4 h 30, la grande aiguille [OM) pointe vers le 6 et la petite aiguille [OH) est entre le 4 et le 5. Le point D marque le 12. On sait que $\widehat{DOH} = 135^\circ$.

1. aNomme avec trois lettres l'angle formé par les deux aiguilles.
2. bNoé note l'angle des aiguilles $\widehat{OHM}$. Explique son erreur.
3. cLes points D, O et M sont alignés. Donne la nature et la mesure de l'angle $\widehat{DOM}$.
4. dCalcule la mesure de l'angle formé par les deux aiguilles.

Ex. 6★★★Les baleines d'un éventail — Les baleines d'un éventail forment les demi-droites [OA), [OB), [OC) et [OD), de même origine O. On sait que $\widehat{AOB} = 26^\circ$, $\widehat{BOC} = 48^\circ$ et $\widehat{COD} = 57^\circ$.

1. aCombien d'angles de sommet O ces quatre demi-droites forment-elles ? Nomme-les tous avec trois lettres.
2. bCalcule la mesure de l'angle formé par [OA) et [OC), puis celle de l'angle formé par [OB) et [OD). Donne la nature de chacun.
3. cCalcule la mesure de l'angle formé par [OA) et [OD). Sami le note $\widehat{OAD}$ : explique son erreur et corrige-la.
4. dParmi tous les angles de sommet O, lequel a la mesure la plus proche de celle d'un angle droit ? Justifie par un calcul.

Ex. 7★★★L'articulation de la lampe d'architecte — Sur ce schéma de lampe d'architecte, l'articulation est K. Les points K, L et M sont alignés dans cet ordre, de même que K, N et P. On sait que $\widehat{LKN} = 117^\circ$. Les points N, K et Q sont alignés, et K est entre N et Q.

1. aParmi $\widehat{MKP}$, $\widehat{KMP}$, $\widehat{PKL}$, $\widehat{LNK}$ et $\widehat{NKM}$, lesquels désignent l'angle de 117° ? Justifie.
2. bInès dit : « $\widehat{MKP}$ est plus grand que $\widehat{LKN}$, car ses côtés tracés sont plus longs. » A-t-elle raison ? Explique.
3. cTom dit : « P n'est pas sur un côté de $\widehat{LKN}$, car il n'est pas sur le segment [KN]. » A-t-il raison ? Explique.
4. dNomme avec trois lettres l'angle marqué « ? », puis calcule sa mesure et donne sa nature.

Ex. 8★★★La copie de Yanis — Les demi-droites [RS), [RT) et [RV) ont la même origine R, et [RT) est entre [RS) et [RV). On sait que $\widehat{SRT} = 39^\circ$ et que l'angle formé par [RS) et [RV) mesure 96°. Voici ce que Yanis a écrit : corrige chacune de ses phrases.

1. aYanis : « Sur la figure, il y a deux angles de sommet R : $\widehat{SRT}$ et $\widehat{TRV}$. »
2. bYanis : « $\widehat{RTV}$ est l'angle marqué « ? », et il mesure 57°. » Corrige le nom, puis vérifie la mesure par un calcul.
3. cYanis : « L'angle R mesure 96°. »
4. dBen trace [RU), la bissectrice de l'angle formé par [RS) et [RV). Calcule $\widehat{SRU}$, puis $\widehat{TRU}$.

Ex. 9★★★Automatismes — Nature d'un angle d'après sa mesure — Réponds à chaque question en comparant la mesure à 90° et à 180°.

1. aUn angle mesure $89^\circ$. Quelle est sa nature ?
2. bUn angle mesure $91^\circ$. Est-il aigu ou obtus ? Justifie.
3. cQuelle est la nature d'un angle qui mesure exactement $90^\circ$ ? Comment le code-t-on sur une figure ?
4. dMalo dit : « Un angle de $179^\circ$ est plat. » A-t-il raison ? Explique.
5. eJade dit : « Un angle obtus mesure plus de $180^\circ$. » Corrige sa phrase et donne un exemple de mesure d'un angle obtus.
6. fRange du plus petit au plus grand : un angle plat, un angle de $91^\circ$, un angle droit, un angle de $89^\circ$.

Ex. 10★★★Automatismes — Angles dans tous les sens — Observe chaque figure. Elle est à l'échelle.

1. aNomme l'angle marqué de sommet L, puis donne sa nature.
2. bLe côté [RT) part vers la gauche. L'angle $\widehat{TRS}$ est-il aigu ou obtus ? Justifie en le comparant à un angle droit.
3. cLes points D, F et E sont alignés. Quelle est la nature de l'angle $\widehat{DFE}$ ? Pourquoi ?
4. dL'angle est penché. Quelle est la nature de $\widehat{HGI}$ ? Quel indice de la figure le prouve ?

Ex. 11★★★Des côtés longs ou courts — La figure est à l'échelle.

1. aDonne la nature de l'angle $\widehat{ABC}$, puis celle de l'angle $\widehat{DEF}$.
2. bLina dit : « $\widehat{ABC}$ est le plus grand, car ses côtés sont les plus longs. » A-t-elle raison ? Explique.
3. cRange du plus petit au plus grand : $\widehat{ABC}$, $\widehat{DEF}$, un angle plat et un angle droit.

Ex. 12★★★Les aiguilles de l'horloge — Sur une horloge, d'un nombre au suivant, l'ouverture entre les aiguilles augmente de $30^\circ$. La figure montre l'horloge à 5 h : O est le centre, [OM) la grande aiguille sur 12 et [OH) la petite aiguille sur 5.

1. aÀ 5 h, calcule la mesure de l'angle $\widehat{MOH}$, puis donne sa nature.
2. bÀ 3 h, quelle est la nature de l'angle formé par les aiguilles ? Avec quel instrument le vérifies-tu ?
3. cÀ 6 h, quelle est la nature de l'angle formé par les aiguilles ? Décris la position des aiguilles.
4. dÀ 1 h, calcule la mesure de l'angle formé par les aiguilles, puis donne sa nature.

Ex. 13★★★Droit à l'œil ou droit pour de vrai ? — La figure est à l'échelle. Ben mesure l'angle $\widehat{UVW}$ et trouve $\widehat{UVW} = 86^\circ$.

1. aInès dit : « $\widehat{UVW}$ est droit, car il a l'air droit. » A-t-elle raison ? Explique.
2. bCombien de degrés manque-t-il à $\widehat{UVW}$ pour être un angle droit ?
3. cCompare $\widehat{UVW}$ et l'angle penché $\widehat{XYZ}$ : lequel est le plus ouvert ? Justifie sans équerre.

Ex. 14★★★L'éventail de Maëlle — L'éventail de Maëlle est grand ouvert. La figure est à l'échelle. O est le pivot, et les baguettes sont les demi-droites [OA), [OB), [OC), [OD) et [OE). La droite (AE) passe par O.

1. aDonne la nature de l'angle $\widehat{AOC}$, puis celle de l'angle $\widehat{AOE}$. Justifie sans utiliser de rapporteur.
2. bLe côté [OE) part vers la gauche. Donne la nature de l'angle $\widehat{DOE}$, puis celle de l'angle $\widehat{EOB}$.
3. cRange du plus petit au plus grand les angles $\widehat{AOC}$, $\widehat{AOE}$, $\widehat{DOE}$ et $\widehat{EOB}$. Justifie avec leur nature.
4. dNoé dit : « $\widehat{AOB}$ est plus grand que $\widehat{DOE}$, car la baguette [OB) est plus longue que [OD). » A-t-il raison ? Explique.
5. eL'angle $\widehat{EOB}$ mesure $28^\circ$, $152^\circ$ ou $208^\circ$. Choisis la bonne mesure et justifie.

Ex. 15★★★Le rapporteur de Yanis — La figure est à l'échelle. Yanis mesure les angles $\widehat{TRS}$ et $\widehat{KJL}$ au rapporteur.

1. aPour $\widehat{TRS}$ : le centre est sur R, [RT) passe par le 0 de la graduation extérieure, et [RS) passe par 63 à l'intérieur et 117 à l'extérieur. Donne la nature de l'angle, puis sa mesure.
2. bPour $\widehat{KJL}$ : le centre est sur J, [JK) passe par le 0 de la graduation intérieure, et [JL) passe par 47 à l'intérieur et 133 à l'extérieur. Yanis écrit 133°. Explique son erreur et corrige.
3. cSacha a noté $\widehat{JKL}$ l'angle de sommet J. Explique son erreur, puis donne deux façons correctes de nommer cet angle.
4. dLéa mesure un angle aigu $\widehat{DEF}$, mais elle lit sur la mauvaise graduation et trouve 104°. Quelle est la vraie mesure ? Explique.

Ex. 16★★★Les aiguilles du réveil — Sur le réveil de Karim, d'un nombre au suivant, l'ouverture entre les aiguilles augmente de $30^\circ$. On regarde l'angle le moins ouvert formé par les aiguilles. La figure montre le réveil à 7 h : O est le centre, [OM) est la grande aiguille et [OH) la petite.

1. aÀ 7 h, Zoé calcule $7 \times 30 = 210$ et écrit $\widehat{MOH} = 210^\circ$. Explique pourquoi c'est impossible, puis calcule $\widehat{MOH}$.
2. bHugo dit : « À 9 h, l'angle est obtus, car 9 est plus grand que 3. » A-t-il raison ? Explique.
3. cÀ quelles deux heures pile les aiguilles forment-elles un angle de $30^\circ$ ? Donne la nature de cet angle.
4. dRange du plus petit au plus grand les angles formés par les aiguilles à 6 h, 7 h, 9 h et 11 h.

Ex. 17★★★Le bon nombre sur le rapporteur — Pour chaque angle, le centre du rapporteur est sur le sommet et un côté passe par un 0. Réponds en une phrase courte.

1. aL'angle $\widehat{KLM}$ est aigu. La demi-droite [LM) passe par 35 sur une graduation et par 145 sur l'autre. Donne la mesure de $\widehat{KLM}$.
2. bL'angle $\widehat{TRS}$ est obtus et mesure 128°. Par quel nombre passe la demi-droite [RS) sur la graduation qu'il ne faut pas lire ?
3. cL'angle $\widehat{VWZ}$ est un peu moins ouvert que le coin d'une feuille. [WZ) passe par 89 et par 91. Donne sa mesure.
4. dInès lit 163° pour l'angle aigu $\widehat{DEF}$ : elle a lu sur la mauvaise graduation. Quelle est la vraie mesure de $\widehat{DEF}$ ?

Ex. 18★★★Bien placer le rapporteur — Ben veut mesurer l'angle $\widehat{AOB}$. Sur son rapporteur, la graduation intérieure part de 0 à droite et la graduation extérieure part de 0 à gauche.

1. aSur quel point places-tu le centre du rapporteur ? Est-ce le bord ou le centre qui va sur ce point ?
2. bLe côté [OA) part vers la gauche. Sur quelle graduation dois-tu lire : intérieure ou extérieure ? Pourquoi ?
3. cLe côté [OB) est trop court pour atteindre les graduations. Que fais-tu ?
4. d[OB) passe par 46 sur l'extérieure et par 134 sur l'intérieure. Donne la mesure de $\widehat{AOB}$ et vérifie avec sa nature.

Ex. 19★★★Aucun côté sur le 0 — Noé mesure l'angle $\widehat{EOF}$. Il place bien le centre du rapporteur sur O, mais aucun côté n'est sur un 0. Sur la graduation intérieure, [OE) passe par 28 et [OF) passe par 107.

1. aCalcule la mesure de l'angle $\widehat{EOF}$.
2. bNoé répond 107°. Explique son erreur à l'aide de la nature de l'angle.
3. cSur la graduation extérieure, par quels nombres passent [OE) et [OF) ? Retrouve la mesure de $\widehat{EOF}$ avec ces nombres.

Ex. 20★★★Corrige la mesure de Lina — Lina doit mesurer l'angle $\widehat{GHJ}$. D'abord, elle place le centre du rapporteur sur G. On l'aide à le replacer : [HG) passe alors par le 0 de la graduation extérieure, et [HJ) passe par 43 sur l'intérieure et 137 sur l'extérieure. Lina répond 43°.

1. aLina place le centre du rapporteur sur G. Explique son erreur.
2. bSur quelle graduation fallait-il lire ? Explique pourquoi.
3. cDonne la nature de l'angle $\widehat{GHJ}$, puis sa mesure. Explique d'où vient le 43 de Lina.

Ex. 21★★★La lampe d'architecte — Sacha règle sa lampe d'architecte. Le pied [PS) est posé sur la table, le bras [PU) monte presque tout droit.

1. aPose le coin de ton équerre en P, un bord le long de [PS). Le bras [PU) est-il dans l'équerre ou en dehors ? Déduis-en la nature de $\widehat{SPU}$.
2. bAu rapporteur, [PU) passe par 86 sur une graduation et par 94 sur l'autre. Donne la mesure de $\widehat{SPU}$ et justifie.
3. cSacha allonge le bras sans changer son inclinaison. Sacha dit : « Maintenant, l'angle est plus grand. » A-t-il raison ? Explique.

Ex. 22★★★Trois angles, un seul rapporteur — Tom mesure des angles de sommet O. Le centre de son rapporteur est sur O et [OA) passe par le 0 de la graduation intérieure. [OB) passe par 36 sur l'intérieure et 144 sur l'extérieure ; [OC) passe par 127 sur l'intérieure et 53 sur l'extérieure.

1. aDonne la mesure de l'angle $\widehat{AOB}$. Justifie ton choix entre 36 et 144.
2. bDonne la mesure de l'angle $\widehat{COA}$ et sa nature. Justifie.
3. cTom écrit : $\widehat{BOC} = 144 - 127 = 17^\circ$. Explique son erreur, puis calcule $\widehat{BOC}$.
4. dLéa trouve que l'angle $\widehat{BOC}$ « a l'air droit ». Quelle est sa nature ? Justifie.

Ex. 23★★★L'éventail de Maëlle — Maëlle mesure son éventail ouvert. Les branches [SR), [SV) et [ST) partent du rivet S ; [SR) part vers la gauche. Le centre du rapporteur est sur S et [SR) passe par le 0 de la graduation extérieure. [SV) passe par 58 sur l'extérieure et 122 sur l'intérieure ; [ST) passe par 153 sur l'extérieure et 27 sur l'intérieure.

1. aMaëlle lit 122° pour l'angle $\widehat{RSV}$. Explique son erreur et donne la bonne mesure.
2. bDonne la mesure de l'angle $\widehat{RST}$ et sa nature. Justifie ton choix entre 153 et 27.
3. cCalcule $\widehat{VST}$. L'angle est-il aigu ou obtus ? Justifie.
4. dMaëlle referme un peu l'éventail : [SR) et [SV) ne bougent pas, et $\widehat{VST}$ mesure maintenant 41°. Par quels nombres passe alors [ST) sur l'extérieure et sur l'intérieure ?

Ex. 24★★★Presque droit, mais lequel ? — Les points D, K et F sont alignés. Yanis place le centre du rapporteur sur K et [KD) sur le 0 de la graduation intérieure. [KE) passe par 84 sur l'intérieure et 96 sur l'extérieure.

1. aYanis écrit $\widehat{DKE} = 96^\circ$ parce que l'angle « a l'air un peu plus ouvert qu'un angle droit ». Corrige-le et donne la nature de $\widehat{DKE}$.
2. bCalcule $\widehat{EKF}$ sans faire de nouvelle lecture. Quelle est sa nature ?
3. cSur quelle demi-droite se trouve le 0 de la graduation extérieure ? Explique alors ce que mesure le nombre 96 lu par Yanis.
4. d[KG) est la bissectrice de l'angle $\widehat{EKF}$. Calcule $\widehat{EKG}$, puis $\widehat{DKG}$.

Ex. 25★★★Automatisme · Comparer à 90°, puis à 45° ou 135° — Les angles sont tracés à l'échelle. Réponds sans rapporteur, en comparant d'abord à l'angle droit.

1. aL'angle $\widehat{KLM}$ est-il plus petit ou plus grand que 90° ? Et que 45° ? Justifie.
2. bL'angle penché $\widehat{CAB}$ est aigu. Est-il plus proche de 45° ou de 90° ? Explique.
3. cLe côté [EF) part vers la gauche. Entre quels repères se trouve $\widehat{FEG}$ : 0° et 45°, 45° et 90°, 90° et 135°, ou 135° et 180° ?
4. dL'angle $\widehat{UPV}$ s'ouvre vers le bas. Nathan dit : « Il mesure moins de 135°. » A-t-il raison ? Explique.

Ex. 26★★★Automatisme · La bonne mesure parmi trois — Les angles sont tracés à l'échelle. Pour chaque angle, choisis la bonne mesure parmi les trois proposées et justifie par la nature de l'angle.

1. aLe côté [JH) part vers le haut. $\widehat{HJN}$ mesure-t-il 34°, 68° ou 146° ?
2. bPour $\widehat{DQY}$, le rapporteur indique 53 et 127 ; Emma propose aussi 97°. Laquelle de ces trois mesures est la bonne ?
3. c$\widehat{VCW}$ est ouvert vers le bas. Mesure-t-il 30°, 60° ou 150° ? Compare-le d'abord à 45°.
4. dPour l'angle penché $\widehat{BXA}$, on propose 45°, 81° et 99°. Lou choisit 99° « car il est presque droit ». Explique son erreur.

Ex. 27★★★Ranger des angles proches — Voici trois angles tracés à l'échelle.

1. aSami dit : « $\widehat{MNP}$ est le plus grand, car ses côtés sont les plus longs. » A-t-il raison ? Explique.
2. bLequel des trois angles est plus petit que 45° ? Range ensuite les trois angles du plus petit au plus grand.
3. cLes trois mesures sont 51°, 63° et 42°, dans le désordre. Attribue chaque mesure à son angle et contrôle ton rangement.

Ex. 28★★★Estimer puis contrôler : la part de pizza — Maël découpe une part de pizza. Les deux bords de la part forment l'angle $\widehat{CZD}$, tracé à l'échelle.

1. aCompare $\widehat{CZD}$ à 45°, puis à 90° : entre quelles mesures se trouve-t-il ?
2. bCompare-le maintenant à 60°, les deux tiers d'un angle droit, et donne une estimation de $\widehat{CZD}$ à 5° près.
3. cMaël mesure au rapporteur et annonce 116°. Explique son erreur, donne la vraie mesure et compare-la à ton estimation.

Ex. 29★★★Vrai ou faux sur une figure — La figure est à l'échelle. Pour chaque phrase, dis si elle est vraie ou fausse et justifie, sans rapporteur.

1. aVrai ou faux : « L'angle $\widehat{BOC}$ peut aussi se noter $\widehat{OBC}$. »
2. bVrai ou faux : « $\widehat{AOB}$ est plus petit que la moitié d'un angle droit. »
3. cVrai ou faux : « $\widehat{BOC}$ est un angle aigu. »
4. dVrai ou faux : « $\widehat{AOC}$ est plus proche d'un angle plat que d'un angle droit. »

Ex. 30★★★La lampe d'architecte — Le pied d'une lampe d'architecte est la demi-droite [OA) ; ses deux bras sont [OB) et [OC). La figure est tracée à l'échelle et elle est penchée : aucun côté n'est horizontal.

1. aSans rapporteur, compare l'angle $\widehat{AOB}$ à l'angle droit. Est-il plus proche d'un tiers ou de deux tiers de l'angle droit ? Donne une estimation de sa mesure.
2. bDonne la nature de $\widehat{BOC}$, puis celle de $\widehat{AOC}$. Pour chacun, compare à 90° puis à 135° et dis entre quelles mesures il se trouve.
3. cBen a mesuré : $\widehat{AOB} = 60^\circ$ et $\widehat{AOC} = 165^\circ$. Contrôle tes estimations, puis calcule $\widehat{BOC}$ sans rapporteur.
4. dTom dit : « Le côté [OC) est le plus court, donc $\widehat{BOC}$ est plus petit que $\widehat{AOB}$. » A-t-il raison ? Explique.

Ex. 31★★★L'angle ouvert vers le bas de Yanis — L'angle $\widehat{TRS}$ est tracé à l'échelle. Il est ouvert vers le bas.

1. aSans rapporteur, compare $\widehat{TRS}$ à 90°, puis à 135°. Quelle est sa nature ? Entre quelles mesures se trouve-t-il ?
2. bYanis met le centre du rapporteur sur R et [RS) sur le 0 de la graduation extérieure. [RT) passe par 127 sur l'extérieure et 53 sur l'intérieure. Il écrit 53°. Explique son erreur et corrige-la.
3. cYanis note cet angle $\widehat{RTS}$. Explique pourquoi c'est faux et donne les deux noms corrects de l'angle.
4. dCombien de degrés manque-t-il à $\widehat{TRS}$ pour former un angle plat ? Compare ce résultat au nombre écrit par Yanis.

Ex. 32★★★Les aiguilles de l'horloge — Il est 5 h. Sur l'horloge de Nora, l'aiguille des minutes [OM) montre le 12 et l'aiguille des heures [OP) montre le 5. La figure est à l'échelle. Le cadran porte 12 nombres régulièrement espacés.

1. aNora dit : « À 5 h, les aiguilles forment presque un angle droit. » Sans rapporteur, explique son erreur en comparant $\widehat{MOP}$ à 90°, puis à 135°.
2. bÀ 3 h, les aiguilles forment un angle droit et il y a 3 intervalles entre le 12 et le 3. Combien mesure l'angle entre les aiguilles à 1 h ? Et à 2 h ?
3. cDéduis-en la mesure de $\widehat{MOP}$ à 5 h. Contrôle avec ton estimation de la première question.
4. dÀ 6 h, quelle est la nature de l'angle formé par les aiguilles ? Combien de degrés manque-t-il à $\widehat{MOP}$ pour former cet angle ?

Ex. 33★★★Automatismes — Les étapes d'une construction — Yanis veut construire l'angle $\widehat{RST} = 130^\circ$.

1. aSur quel point Yanis place-t-il le centre du rapporteur ? Pourquoi ?
2. bRemets ces étapes dans l'ordre : (A) tracer la demi-droite [ST) ; (B) marquer T en face de 130 ; (C) tracer la demi-droite [SR) ; (D) placer le centre du rapporteur sur le sommet et le 0 sur [SR).
3. cYanis trace [SR) de 3 cm et [ST) de 6 cm. Rose dit que son angle mesure plus que 130°. A-t-elle raison ? Explique.
4. dUne fois l'angle tracé, quelle nature doit-il avoir ? Justifie.

Ex. 34★★★Automatismes — La bonne graduation — Dans chaque construction, le centre du rapporteur est placé sur le sommet de l'angle.

1. aHugo construit $\widehat{DEF} = 48^\circ$. Le côté [ED) part vers la gauche et passe par le 0 de la graduation extérieure. Sur quelle graduation lit-il 48 ?
2. bLéa construit $\widehat{PQR} = 128^\circ$ : [QP) passe par le 0 intérieur, mais elle marque R en face de 128 sur l'extérieure. Quel angle a-t-elle tracé ?
3. cPour contrôler son tracé de $\widehat{GHI} = 23^\circ$, Noé regarde la nature de l'angle. Quelle nature doit-il voir ? Justifie.
4. dSami devait construire $\widehat{UVW} = 147^\circ$ à partir de [VU). Voici son tracé. Est-il juste ? Explique.

Ex. 35★★★Trois angles côte à côte sur une droite — Les points A, O et B sont alignés, avec O entre A et B. Les demi-droites [OC) et [OD) partagent $\widehat{AOB}$ en trois angles côte à côte, avec $\widehat{AOC} = 38^\circ$ et $\widehat{DOB} = 57^\circ$.

1. aCalcule $\widehat{AOD}$.
2. bCalcule $\widehat{COD}$.
3. cIlan écrit : $\widehat{COB} = 38^\circ + 57^\circ = 95^\circ$. Explique son erreur, puis calcule $\widehat{COB}$.

Ex. 36★★★Ajouter ou soustraire ? — $\widehat{KLM}$ est un angle droit. Les demi-droites [LN) et [LP) sont tracées comme sur la figure, avec $\widehat{KLN} = 27^\circ$ et $\widehat{MLP} = 31^\circ$.

1. aCalcule $\widehat{NLM}$.
2. bTom écrit : $\widehat{KLP} = 90 - 31 = 59^\circ$. A-t-il raison ? Explique, puis calcule $\widehat{KLP}$.
3. cCalcule $\widehat{NLP}$.

Ex. 37★★★Le plan d'un éventail — Zoé dessine le plan d'un éventail ouvert en suivant ce programme. 1. Trace une demi-droite [GF) qui part vers la gauche. 2. Construis $\widehat{FGH} = 104^\circ$, avec H au-dessus de [GF). 3. Construis la baleine [GJ) avec $\widehat{FGJ} = 36^\circ$, avec J au-dessus de [GF).

1. aLa demi-droite [GJ) est-elle à l'intérieur de $\widehat{FGH}$ ? Justifie, puis calcule $\widehat{JGH}$.
2. bMila a lu 36 sur la mauvaise graduation à l'étape 3. Quel angle $\widehat{FGJ}$ a-t-elle tracé ? Peut-elle encore calculer $\widehat{JGH}$ en faisant $104 - 36$ ? Explique.
3. cZoé ajoute une baleine [GE) à l'intérieur de $\widehat{JGH}$, avec $\widehat{FGE} = 90^\circ$. Calcule $\widehat{JGE}$ et $\widehat{EGH}$.

Ex. 38★★★Le tracé de Malik — Malik doit construire $\widehat{TRS} = 138^\circ$. Il trace la demi-droite [RT) vers la gauche et place le centre du rapporteur sur R. [RT) passe par le 0 de la graduation extérieure. Malik marque S en face de 138 sur la graduation intérieure, puis il trace [RS). Voici son tracé :

1. aQuelle est la nature d'un angle de 138° ? Quelle est la nature de l'angle tracé par Malik ? Que peux-tu en conclure ?
2. bQuelle est la vraie mesure de l'angle tracé par Malik ? Explique son erreur.
3. cÉcris dans l'ordre les étapes de la construction correcte de $\widehat{TRS} = 138^\circ$ à partir de [RT).
4. dMalik trace ensuite la bissectrice [RU) de l'angle correct $\widehat{TRS}$. Calcule $\widehat{TRU}$.

Ex. 39★★★Les bateaux du phare — Depuis un phare O, la côte est la droite (EF), et O est entre E et F. Le gardien repère un bateau dans la direction [OG), avec $\widehat{EOG} = 53^\circ$, et un autre dans la direction [OH), avec $\widehat{GOH} = 78^\circ$.

1. aCalcule $\widehat{EOH}$, puis donne sa nature.
2. bExplique pourquoi $\widehat{EOF}$ mesure 180°, puis calcule $\widehat{HOF}$.
3. cCalcule $\widehat{GOF}$ de deux façons différentes.
4. dPour vérifier $\widehat{GOH}$, le gardien calcule $\widehat{EOH} - \widehat{HOF}$. Explique son erreur, puis écris le bon calcul.
5. eIl dirige la lumière selon la bissectrice [OK) de $\widehat{GOH}$. Calcule $\widehat{EOK}$.

Ex. 40★★★Le programme de Sacha — Sacha suit ce programme. 1. Trace une demi-droite [PQ) verticale, vers le haut. 2. Construis l'angle droit $\widehat{QPR}$, avec [PR) vers la droite. 3. Construis $\widehat{RPS} = 34^\circ$, avec [PS) à l'intérieur de $\widehat{QPR}$. 4. Trace la bissectrice [PU) de $\widehat{QPS}$.

1. aCalcule $\widehat{QPS}$.
2. bCalcule $\widehat{QPU}$, puis $\widehat{UPR}$.
3. cTiméo trace [PS) sous [PR), à l'extérieur de $\widehat{QPR}$, avec $\widehat{RPS} = 34^\circ$. Il écrit : $\widehat{QPS} = 90 - 34 = 56^\circ$. Corrige son erreur.
4. dSacha refait le programme avec une autre mesure à l'étape 3. Elle trouve $\widehat{QPU} = 35{,}5^\circ$. Quelle mesure a-t-elle choisie à l'étape 3 ?

Ex. 41★★★Automatismes : la moitié de l'angle — Dans chaque cas, la bissectrice partage l'angle en deux angles égaux. Calcule la mesure de chacun de ces deux angles.

1. a$\widehat{KLM} = 86^\circ$ : combien mesure chacun des deux angles ?
2. bSur la figure, $\widehat{UVW} = 118^\circ$ : combien mesure chacun des deux angles ?
3. c$\widehat{TRS} = 47^\circ$ : combien mesure chacun des deux angles ?
4. d$\widehat{DEF}$ est un angle droit : combien mesure chacun des deux angles ?
5. e$\widehat{GHJ}$ est un angle plat : combien mesure chacun des deux angles ?

Ex. 42★★★Automatismes : retrouver l'angle entier — Dans chaque cas, on connaît un des deux angles formés par la bissectrice. Retrouve la mesure de l'angle entier.

1. aSur la figure, [OC) est la bissectrice de $\widehat{AOB}$ et $\widehat{AOC} = 36^\circ$. Calcule $\widehat{AOB}$.
2. b[QZ) est la bissectrice de $\widehat{PQR}$ et $\widehat{PQZ} = 52{,}5^\circ$. Calcule $\widehat{PQR}$.
3. c[NX) est la bissectrice de $\widehat{MNY}$ et $\widehat{XNY} = 81^\circ$. Calcule $\widehat{MNY}$.
4. d[BD) est la bissectrice de $\widehat{ABC}$ et $\widehat{ABD} = 29^\circ$. Lina affirme que $\widehat{ABC} = 14{,}5^\circ$. A-t-elle raison ? Explique.

Ex. 43★★★Bissectrice ou pas ? — Dans chaque cas, dis si le trait tracé est la bissectrice de l'angle, puis justifie.

1. aSur la figure, $\widehat{TRS} = 136^\circ$, $\widehat{TRU} = 64^\circ$ et $\widehat{URS} = 72^\circ$. [RU) est-elle la bissectrice de $\widehat{TRS}$ ?
2. bNoé trace dans l'angle $\widehat{GHK}$ un segment [EF] qui partage l'intérieur en deux zones, sans passer par H. Est-ce la bissectrice ? Explique.
3. c$\widehat{BAE} = 98^\circ$ et la demi-droite [AF), à l'intérieur de l'angle, donne $\widehat{BAF} = 49^\circ$. Calcule $\widehat{FAE}$, puis dis si [AF) est la bissectrice.

Ex. 44★★★Tracer une bissectrice — Ben a tracé l'angle $\widehat{AOB} = 146^\circ$. On veut tracer sa bissectrice [OD).

1. aCalcule la mesure de chacun des deux angles formés par la bissectrice de $\widehat{AOB}$.
2. bÉcris les étapes pour tracer [OD) au rapporteur, à partir du côté [OA).
3. cTom place D en face de 107 sur le rapporteur. Quelle erreur a-t-il faite ? Explique.
4. dSans rapporteur, comment obtenir la bissectrice de $\widehat{AOB}$ en pliant la feuille ?

Ex. 45★★★Corrige les erreurs — Chaque élève a fait une erreur. Explique-la, puis donne la bonne réponse.

1. aMia : « $\widehat{KLM} = 58^\circ$ et [LN) est sa bissectrice, donc $\widehat{KLN} = 116^\circ$. » Explique son erreur et corrige.
2. bHugo : « La bissectrice d'un angle plat le partage en deux angles de 45°. » Explique son erreur et corrige.
3. cSur la figure, $\widehat{EFG} = 106^\circ$ et [FH) est sa bissectrice. Inès : « [FE) est tracée plus courte que [FG), donc $\widehat{EFH}$ est plus petit que $\widehat{HFG}$. » Explique son erreur et calcule $\widehat{EFH}$.

Ex. 46★★★Deux bissectrices côte à côte — Sur la figure, les points A, O et B sont alignés : $\widehat{AOB}$ est un angle plat. La demi-droite [OC) le partage en deux angles côte à côte, avec $\widehat{AOC} = 46^\circ$. [OD) est la bissectrice de $\widehat{AOC}$ et [OE) est la bissectrice de $\widehat{COB}$.

1. aCalcule la mesure de l'angle $\widehat{COB}$.
2. bCalcule les mesures de $\widehat{AOD}$ et de $\widehat{COE}$.
3. cLes angles $\widehat{DOC}$ et $\widehat{COE}$ sont côte à côte. Calcule $\widehat{DOE}$, puis donne la nature de cet angle.
4. dYanis affirme : « Si $\widehat{AOC}$ mesurait 37°, l'angle $\widehat{DOE}$ changerait de nature. » Fais les calculs avec 37°. A-t-il raison ? Explique.

Ex. 47★★★Plier pour partager — Nina a tracé l'angle $\widehat{KLM} = 126^\circ$ sur une feuille de papier calque. Elle va faire des pliages qui passent tous par le sommet L.

1. aNina plie la feuille pour que [LK) et [LM) se superposent. Le pli trace la demi-droite [LN). Explique pourquoi [LN) est la bissectrice de $\widehat{KLM}$.
2. bCalcule la mesure de l'angle $\widehat{KLN}$.
3. cElle déplie, puis plie pour que [LK) se superpose à [LN). Le nouveau pli est la demi-droite [LP). Calcule $\widehat{KLP}$.
4. dCalcule $\widehat{PLM}$, puis donne la nature de cet angle. Justifie.
5. eIlyès fait les deux mêmes pliages sur un autre angle. Son plus petit angle, comme $\widehat{KLP}$, mesure 21°. Retrouve la mesure de son angle de départ.

Ex. 48★★★Sur la rose des vents — Sur la rose des vents d'un bateau, O est le centre. [ON) indique le Nord, [OE) l'Est et [OW) l'Ouest ; W, O et E sont alignés et $\widehat{NOE}$ est droit. [OR) est la bissectrice de $\widehat{NOE}$ et [OT) est la bissectrice de $\widehat{NOR}$.

1. aCalcule la mesure de l'angle $\widehat{NOR}$.
2. bCalcule la mesure de l'angle $\widehat{NOT}$.
3. cCalcule la mesure de l'angle $\widehat{TOE}$.
4. dLe cap du bateau est la demi-droite [OB), entre [ON) et [OE), avec $\widehat{NOB} = 38^\circ$. Malo dit : « [OB) est la bissectrice de $\widehat{NOE}$. » A-t-il raison ? Justifie par un calcul.
5. eManon dit : « [OR) est la bissectrice de l'angle plat $\widehat{EOW}$. » A-t-elle raison ? Justifie, puis nomme la bissectrice de $\widehat{EOW}$.