Cinquième / Angles et parallélisme

Ex. 1★★★Angles de sommet K : nommer, classer, partager — Sur la figure, les demi-droites [KP), [KM) et [KN) ont la même origine K.

1. aDonne la nature d'un angle de $91^\circ$, puis d'un angle de $90^\circ$, puis d'un angle de $180^\circ$.
2. bDonne le sommet et les côtés de l'angle $\widehat{MKN}$.
3. cExplique pourquoi l'écriture « $\widehat{K}$ » ne suffit pas pour désigner l'angle marqué.
4. dZoé écrit $\widehat{KPM}$ pour l'angle marqué. Corrige son erreur.
5. eRayan mesure $\widehat{PKM}$ au rapporteur et annonce $130^\circ$. Explique son erreur, puis donne la vraie mesure.
6. fOn sait que $\widehat{MKN} = 75^\circ$. La demi-droite [KR), non dessinée, est la bissectrice de $\widehat{MKN}$. Calcule $\widehat{MKR}$.

Ex. 2★★★Automatismes : nature, bissectrice, rapporteur — Réponds en justifiant en une phrase.

1. aUn angle mesure $91^\circ$. Est-il aigu, droit, obtus ou plat ?
2. bDonne la nature d'un angle de $90^\circ$, puis celle d'un angle de $180^\circ$.
3. c[SU) est la bissectrice de $\widehat{RST} = 137^\circ$. Calcule $\widehat{RSU}$.
4. d[BD) est la bissectrice de $\widehat{ABC}$ et $\widehat{ABD} = 37{,}5^\circ$. Calcule $\widehat{ABC}$.
5. eMaël mesure un angle $\widehat{VWX}$ visiblement aigu et écrit $133^\circ$. Corrige son erreur.

Ex. 3★★★Plan de ville : choisir la bonne propriété — Sur le plan de ville d'Amir, les rues sont représentées par les droites (AB), (CD), (EF) et (KL). Les angles droits sont codés et on sait que $(KL) \parallel (AB)$.

1. aLucas affirme : « (AB) et (CD) sont perpendiculaires à (EF), donc elles sont perpendiculaires entre elles. » Corrige-le en rédigeant une démonstration.
2. bLina affirme : « $(EF) \perp (AB)$ et $(KL) \parallel (AB)$, donc $(KL) \parallel (EF)$. » Corrige-la en démontrant la bonne conclusion.
3. cDémontre que $(KL) \parallel (CD)$.
4. dUne rue (RS), non dessinée, est perpendiculaire à (KL). Démontre que $(RS) \parallel (EF)$.

Ex. 4★★★L'éventail de Noé — Noé dessine les baleines d'un éventail. Pour $\widehat{PRQ}$, il place le centre du rapporteur sur R et [RP) sur un 0 : [RQ) passe par 64 sur une graduation et par 116 sur l'autre. [RS) est la bissectrice de $\widehat{PRQ}$, et [RT) celle de $\widehat{PRS}$.

1. aQuelle est la mesure de $\widehat{PRQ}$ : $64^\circ$ ou $116^\circ$ ? Justifie.
2. bCalcule $\widehat{PRS}$, puis $\widehat{PRT}$.
3. cCalcule $\widehat{TRQ}$.
4. dJade affirme que $\widehat{TRQ}$ est un angle droit. A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 5★★★La charpente d'Inès — Inès dessine la charpente d'un abri. L'entrait est la droite (CG). Les poteaux sont les droites (CD), (EF) et (GH). La traverse est la droite (MN). Les angles droits codés sont sûrs, mais le dessin n'est pas à l'échelle.

1. aDémontre que les poteaux (CD) et (EF) sont parallèles.
2. bDémontre que la traverse (MN) est perpendiculaire au poteau
   (EF).
3. cHugo affirme : « Sur le dessin, (GH) a l'air perpendiculaire à (CG), donc (GH) et (EF) sont parallèles. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dInès vérifie sur le chantier que $(GH) \parallel (CD)$. Démontre que les poteaux (GH) et (EF) sont parallèles.
5. eOn sait maintenant que $(GH) \parallel (CD)$. Démontre que l'entrait (CG) est perpendiculaire au poteau
   (GH).

Ex. 6★★★Les rayons de soleil de Sacha — Sacha dessine des rayons de soleil qui partent du point S. Les points A, S et B sont alignés sur l'horizon. Les demi-droites [SC) et [SD) sont deux rayons. La demi-droite [SC) est entre [SA) et [SE).

1. aSacha appelle l'angle droit codé « $\widehat{S}$ ». Explique pourquoi ce nom ne suffit pas, puis nomme cet angle avec trois lettres.
2. bSacha place le centre du rapporteur sur S et [SA) sur un 0. [SC) passe par 37 sur une graduation et par 143 sur l'autre. Il écrit $\widehat{ASC} = 143^\circ$. Explique son erreur et donne la bonne mesure.
3. cLe nombre 143 est la mesure d'un autre angle de la figure. Lequel ? Justifie, puis donne la nature de cet angle.
4. d[SD) est la bissectrice de l'angle trouvé à la question précédente. Calcule la mesure de $\widehat{BSD}$ et donne sa nature.

Ex. 7★★★La voie ferrée — Sur ce plan d'une voie ferrée, les rails sont les droites (AB) et (CD), et ils sont parallèles. La traverse (EF) est perpendiculaire au rail (AB) en E. Elle coupe le rail (CD) en F.

1. aDémontre que la traverse (EF) est perpendiculaire au rail
   (CD).
2. bUne voie de garage (MN), non dessinée, est parallèle au rail (CD). Démontre que $(MN) \parallel (AB)$.
3. cUne traverse (GH), non dessinée, est perpendiculaire à la voie de garage (MN). Démontre en deux étapes que $(GH) \parallel (EF)$.
4. dUn câble (PQ), non dessiné, est parallèle à la traverse (EF). Nathan pense que le câble (PQ) peut être parallèle au rail (AB). A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 8★★★Automatismes — Reconnaître des angles adjacents — Sur la figure, les demi-droites [SR), [ST), [SM) et [SN) ont la même origine S.

1. aLes angles $\widehat{RST}$ et $\widehat{TSM}$ sont-ils adjacents ? Justifie.
2. bTom dit : « $\widehat{RSM}$ et $\widehat{TSM}$ sont adjacents, car ils ont le côté [SM) en commun. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cParmi $\widehat{RST}$, $\widehat{RSM}$ et $\widehat{TSN}$, lequel est adjacent à $\widehat{MSN}$ ? Justifie pour chacun.
4. dNomme un angle adjacent à $\widehat{TSM}$, autre que $\widehat{RST}$.
5. eOn donne $\widehat{RST} = 40^\circ$ et $\widehat{TSM} = 55^\circ$. Calcule $\widehat{RSM}$.

Ex. 9★★★Automatismes — Complémentaire ou supplémentaire ? — Réponds à chaque question en écrivant ton calcul.

1. aL'angle $\widehat{EFG}$ est droit et $\widehat{EFH} = 58^\circ$. Calcule $\widehat{HFG}$.
2. bUn angle mesure $47{,}5^\circ$. Quelle est la mesure de son complémentaire ?
3. cDonne la mesure du supplémentaire d'un angle de $123^\circ$.
4. dLéa écrit : « Le complémentaire d'un angle de $104^\circ$ mesure $-14^\circ$. » A-t-elle raison ? Justifie.
5. eLe supplémentaire d'un angle mesure $71{,}5^\circ$. Combien mesure cet angle ?
6. fUn angle de $29^\circ$ et un angle de $61^\circ$ sont dessinés loin l'un de l'autre. Sont-ils complémentaires ? Justifie.

Ex. 10★★★Trois rues sur une avenue — Sur un plan de ville, l'avenue est la droite (LN). Deux rues [TV) et [TW) partent du carrefour T, du même côté de l'avenue. On sait que $\widehat{LTV} = 41^\circ$ et $\widehat{VTW} = 87{,}5^\circ$.

1. aCalcule $\widehat{VTN}$.
2. bDéduis-en la mesure de $\widehat{WTN}$.
3. cCalcule $\widehat{LTW}$, puis donne sa nature.
4. dNoé affirme : « $\widehat{LTV}$ et $\widehat{WTN}$ sont complémentaires. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 11★★★La jambe de force d'une charpente — Dans une charpente, Hugo pose une poutre [GR) sur la poutre horizontale (PQ), avec $\widehat{PGR} = 68^\circ$. Il fixe une jambe de force [GS), qui est la bissectrice de l'angle $\widehat{RGQ}$.

1. aCalcule $\widehat{RGQ}$.
2. bCalcule $\widehat{RGS}$.
3. cCalcule $\widehat{PGS}$.
4. dAna dit : « $\widehat{PGS}$ et $\widehat{RGQ}$ sont adjacents, car ils ont le même sommet G. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 12★★★Les rayons du soleil couchant — Sur un dessin, le soleil se couche sur l'horizon (AB) au point O. Trois rayons [OC), [OD) et [OE) partent de O, et le rayon [OD) est perpendiculaire à l'horizon. On sait que $\widehat{AOC} = 32{,}5^\circ$ et $\widehat{EOB} = 57{,}5^\circ$.

1. aCalcule $\widehat{COD}$.
2. bCalcule $\widehat{DOE}$ en justifiant chaque étape.
3. cNadia affirme : « $\widehat{AOC}$ et $\widehat{EOB}$ ne sont pas complémentaires, car ils ne sont pas adjacents. » A-t-elle raison ? Justifie.
4. dLes angles $\widehat{AOD}$ et $\widehat{COD}$ sont-ils adjacents ? Justifie.
5. eCalcule $\widehat{AOE}$, puis explique pourquoi cet angle n'a pas de complémentaire.

Ex. 13★★★Les haubans d'un pont — Au sommet T du pylône d'un pont à haubans, une traverse horizontale (MN) est perpendiculaire au pylône [TP). Les haubans [TC), [TD) et [TE) partent de T. On sait que $\widehat{PTC} = 27{,}5^\circ$ et $\widehat{CTD} = 18^\circ$.

1. aCalcule $\widehat{PTD}$ en justifiant.
2. bCalcule $\widehat{DTN}$.
3. cL'ingénieure note sur son carnet : le supplémentaire de $\widehat{MTE}$ mesure $143^\circ$. Calcule $\widehat{MTE}$.
4. dLina écrit : « $\widehat{ETP}$ est le supplémentaire de $\widehat{MTE}$, donc $\widehat{ETP} = 143^\circ$. » Explique son erreur, puis calcule $\widehat{ETP}$.
5. eCalcule $\widehat{ETD}$, puis vérifie que $\widehat{MTE} + \widehat{ETD} + \widehat{DTN} = 180^\circ$.

Ex. 14★★★Alignés ou presque ? — Sur la figure, R, K et S sont alignés. Les demi-droites [KA) et [KB) sont à gauche de la droite (RS), et [KD) est à droite. On sait que $\widehat{RKA} = 41{,}5^\circ$, $\widehat{AKB} = 47^\circ$ et $\widehat{SKD} = 88^\circ$.

1. aCalcule $\widehat{RKB}$.
2. bZoé affirme : « La droite (KB) est perpendiculaire à (RS), ça se voit sur la figure. » A-t-elle raison ? Justifie.
3. cCalcule $\widehat{BKS}$.
4. dLes points B, K et D sont-ils alignés ? Justifie.
5. eQuelle mesure faudrait-il donner à $\widehat{SKD}$ pour que B, K et D soient alignés ?

Ex. 15★★★Reconnaître des angles opposés par le sommet — Les droites (RS) et (TU) se coupent en O. La demi-droite [OV) a pour origine O. On sait que $\widehat{ROT} = 105^\circ$.

1. aNomme l'angle opposé par le sommet à $\widehat{ROT}$.
2. bNomme l'angle opposé par le sommet à $\widehat{TOS}$.
3. cLes angles $\widehat{ROT}$ et $\widehat{VOS}$ ont le même sommet O. Sont-ils opposés par le sommet ? Justifie.
4. dNomme les deux angles adjacents à $\widehat{ROT}$ qui forment chacun avec lui un angle plat, puis donne leur mesure.

Ex. 16★★★Les quatre angles de deux droites sécantes — Les droites (KL) et (MN) se coupent en P, et $\widehat{KPM} = 47{,}5^\circ$. Justifie chaque calcul.

1. aCalcule $\widehat{LPN}$.
2. bCalcule $\widehat{KPN}$.
3. cCalcule $\widehat{MPL}$.
4. dVérifie que la somme des quatre angles autour de P fait un tour complet.

Ex. 17★★★Sur le plan de la ville : corrige les erreurs — Sur un plan de ville, la rue (AB) et l'avenue (CD) se croisent au carrefour I. On sait que $\widehat{AIC} = 58^\circ$. Inès écrit : « $\widehat{BID}$ et $\widehat{AIC}$ sont opposés par le sommet, donc ils sont supplémentaires. »

1. aExplique l'erreur d'Inès, puis calcule $\widehat{BID}$ en rédigeant.
2. bHugo dit : « Sur le plan, $\widehat{AID}$ a l'air droit, donc il mesure $90^\circ$. » A-t-il raison ? Calcule $\widehat{AID}$ en justifiant.
3. cCalcule $\widehat{BIC}$ en citant la propriété utilisée.

Ex. 18★★★Trois coutures sur une voile — Sur une voile de bateau, trois coutures droites (EF), (GH) et (JK) se croisent en un même point O. On sait que $\widehat{EOG} = 52^\circ$ et $\widehat{GOJ} = 71^\circ$.

1. aCalcule $\widehat{JOF}$ en justifiant.
2. bCalcule $\widehat{HOK}$ en citant la propriété utilisée.
3. cDéduis-en $\widehat{KOE}$.
4. dCalcule $\widehat{GOK}$ de deux façons différentes.

Ex. 19★★★Même sommet, mais opposés ? — Les demi-droites [OA), [OB), [OC) et [OD) ont la même origine O. On sait que $\widehat{AOB} = 41^\circ$, $\widehat{BOC} = 139^\circ$ et $\widehat{COD} = 32^\circ$. Les angles $\widehat{AOB}$ et $\widehat{BOC}$ sont adjacents, tout comme $\widehat{BOC}$ et $\widehat{COD}$. La figure n'est pas à l'échelle : ne lis rien sur le dessin.

1. aDémontre que les points A, O et C sont alignés.
2. bLéo affirme : « $\widehat{AOB}$ et $\widehat{COD}$ sont opposés par le sommet, car ils ont le même sommet et se font face sur le dessin. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cOn trace [OE), la demi-droite dans le prolongement de [OB) : B, O et E sont alignés. Nomme l'angle opposé par le sommet à $\widehat{AOB}$, puis donne sa mesure en justifiant.
4. dOn admet que la demi-droite [OD) est à l'intérieur de l'angle $\widehat{COE}$. Calcule $\widehat{DOE}$.

Ex. 20★★★Trois poutres d'un pont — Sur un pont métallique, trois poutres droites (MN), (PQ) et (RS) se croisent en K. On sait que $(MN) \perp (PQ)$ et que $\widehat{RKN} = 127{,}5^\circ$. La demi-droite [KR) est à l'intérieur de l'angle $\widehat{MKP}$.

1. aCalcule $\widehat{MKR}$ en justifiant.
2. bCalcule $\widehat{PKR}$ en justifiant.
3. cZoé écrit : « $\widehat{SKQ}$ est opposé par le sommet à $\widehat{RKN}$, donc $\widehat{SKQ} = 127{,}5^\circ$. » Explique son erreur, puis calcule $\widehat{SKQ}$ en justifiant.
4. dCalcule $\widehat{NKS}$ sans lire sur le dessin, en rédigeant avec « on sait que, or, donc ».

Ex. 21★★★La table pliante de camping — Vue de face, une table pliante a un plateau [AB] et deux pieds [AD] et [BC] qui se croisent en O, avec O sur [AD] et sur [BC]. On sait que OA = OB, OC = OD et $\widehat{BAO} = 66^\circ$. La figure n'est pas à l'échelle.

1. aCalcule $\widehat{AOB}$ en justifiant.
2. bDéduis-en $\widehat{COD}$ en citant la propriété utilisée.
3. cLina affirme : « $\widehat{AOC}$ et $\widehat{AOB}$ sont opposés par le sommet, car ils ont le même sommet O. » A-t-elle raison ? Calcule $\widehat{AOC}$.
4. dCalcule $\widehat{ODC}$ en justifiant.
5. eLe plateau (AB) est-il parallèle au sol (CD) ? Démontre-le.

Ex. 22★★★Automatismes : une sécante qui descend — La droite (KL) coupe la droite (RS) en M et la droite (TU) en N.

1. aLes angles $\widehat{KMS}$ et $\widehat{UNM}$ sont-ils alternes-internes, correspondants, ou ni l'un ni l'autre ? Justifie par leur place.
2. bNomme l'angle de sommet N correspondant à $\widehat{SMN}$.
3. cNomme l'angle de sommet M alterne-interne à $\widehat{MNU}$.
4. dLes angles $\widehat{RMK}$ et $\widehat{SMN}$ sont-ils alternes-internes, correspondants, ou ni l'un ni l'autre ? Justifie.
5. eOn donne $\widehat{KMS} = 124^\circ$ et $\widehat{TNM} = 67{,}5^\circ$. Mia dit : « $\widehat{SMN}$ et $\widehat{TNM}$ sont alternes-internes, donc ils ont la même mesure. » Calcule $\widehat{SMN}$. Mia a-t-elle raison ?

Ex. 23★★★Automatismes : une figure couchée — Les droites (PQ) et (VW) sont verticales. Les droites (GH) et (PV) les coupent toutes les deux : il y a deux sécantes.

1. aLes angles $\widehat{QPV}$ et $\widehat{WVP}$ sont alternes-internes. Nomme leur sécante et les deux droites qu'elle coupe.
2. bNomme l'angle de sommet J alterne-interne à $\widehat{QIJ}$.
3. cNomme l'angle de sommet J correspondant à $\widehat{GIQ}$.
4. dQuel est le sommet de l'angle $\widehat{WJH}$ ? Nomme ses deux côtés, puis l'angle de sommet I qui lui est correspondant.
5. eZoé affirme : « $\widehat{QIG}$ et $\widehat{HJV}$ sont correspondants, car ils sont du même côté de la sécante (GH). » A-t-elle raison ? Justifie.
6. fLes angles $\widehat{QIJ}$ et $\widehat{PVW}$ sont-ils alternes-internes ? Justifie.

Ex. 24★★★Deux sécantes : laquelle ? — Les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Elles sont coupées par deux sécantes, (EF) et (GH). On donne $\widehat{BEF} = 71{,}5^\circ$.

1. aPour $\widehat{BEF}$ et $\widehat{EFC}$ : quelle est la sécante ? Ces angles sont-ils alternes-internes ou correspondants ? Justifie.
2. bCalcule $\widehat{EFC}$ en citant la propriété utilisée.
3. cPour $\widehat{CHG}$ et $\widehat{HGB}$ : quelle est la sécante ? Ces angles sont-ils alternes-internes ou correspondants ? Justifie.
4. dLina affirme : « $\widehat{BEF}$ et $\widehat{GHD}$ sont alternes-internes. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 25★★★Même nom, mesures différentes — La droite (ST) coupe (KL) en M et (PQ) en N. Les droites (KL) et (PQ) ne sont pas parallèles. On donne $\widehat{LMN} = 70^\circ$ et $\widehat{PNM} = 55^\circ$.

1. aExplique pourquoi $\widehat{LMN}$ et $\widehat{MNP}$ sont alternes-internes.
2. bSami dit : « Ils sont alternes-internes, donc ils ont la même mesure. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cCalcule $\widehat{KMN}$, puis nomme l'angle de sommet N qui lui est correspondant.
4. dCalcule la mesure de cet angle correspondant. Ces deux angles correspondants ont-ils la même mesure ?

Ex. 26★★★Z ou F sur deux droites qui se rapprochent — La droite (YZ) coupe la droite (FG) en P et la droite (JK) en Q. Les droites (FG) et (JK) ne sont pas parallèles. On donne $\widehat{FPY} = 60^\circ$ et $\widehat{ZQK} = 66^\circ$.

1. aQuelle droite est la sécante ? Cite les quatre paires d'angles correspondants.
2. bCalcule $\widehat{GPQ}$ et $\widehat{PQJ}$ en justifiant.
3. cTom affirme : « $\widehat{QPG}$ et $\widehat{JQP}$ sont correspondants, car leurs mesures sont presque égales. » Corrige son erreur.
4. dNomme l'angle de sommet P qui forme une paire d'alternes-internes avec $\widehat{KQP}$. Calcule les mesures de ces deux angles : que remarques-tu ?

Ex. 27★★★Plan de ville : deux rues, deux sécantes — Sur un plan de ville, la rue (AG) et la rue (CD) sont parallèles. L'avenue (MF) les coupe en E et en F. Le boulevard (GH) les coupe en G et en H. On donne $\widehat{FEG} = 74^\circ$ et $\widehat{AGH} = 47{,}5^\circ$.

1. aPour les angles $\widehat{HGA}$ et $\widehat{GHD}$, quelle est la sécante ? Sont-ils alternes-internes ou correspondants ? Justifie par leur place.
2. bDéduis-en $\widehat{GHD}$ en rédigeant ta réponse.
3. cCalcule $\widehat{MEG}$ en justifiant.
4. dPour la sécante (MF), nomme l'angle de sommet F correspondant à $\widehat{MEG}$, puis calcule sa mesure.
5. eLéo affirme : « $\widehat{FEG}$ et $\widehat{AGH}$ sont correspondants. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 28★★★La couture d'une voile — Une voile a la forme du triangle ABC. Une couture va de M, sur [AB], à N, sur [AC]. Une latte suit le segment [BN]. On donne $\widehat{ABC} = 64^\circ$, $\widehat{BAC} = 67^\circ$ et $\widehat{ANM} = 56^\circ$.

1. aPour $\widehat{NMA}$ et $\widehat{CBA}$, donne la sécante et les deux droites qu'elle coupe. Ces angles sont-ils alternes-internes ou correspondants ?
2. bMême question pour $\widehat{BNM}$ et $\widehat{NBC}$.
3. cSarah affirme : « $\widehat{BMN}$ et $\widehat{MBC}$ sont alternes-internes. » A-t-elle raison ? Justifie.
4. dCalcule $\widehat{AMN}$ en justifiant.
5. eInès affirme : « Sur le dessin, on voit bien que (MN) et (BC) sont parallèles. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 29★★★Automatismes : un angle connu, une propriété — Les droites (KL) et (MN) sont parallèles. Elles sont coupées par la sécante (UV) en P et T. On donne $\widehat{LPT} = 58^\circ$.

1. aNomme l'angle alterne-interne de $\widehat{LPT}$, puis donne sa mesure.
2. bCalcule $\widehat{NTV}$ et cite la propriété utilisée.
3. cCalcule $\widehat{KPT}$.

Ex. 30★★★Automatismes : la propriété s'applique-t-elle ? — Les droites (EB) et (CD) sont parallèles. La sécante (LM) coupe les droites (EB), (CD) et (KH) en E, F et K. On donne $\widehat{BEF} = 74{,}5^\circ$.

1. aVrai ou faux : $\widehat{CFE} = 74{,}5^\circ$. Justifie.
2. bLéo affirme : « $\widehat{DFE} = 74{,}5^\circ$, comme $\widehat{BEF}$. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cPeut-on affirmer que $\widehat{HKM} = 74{,}5^\circ$ ? Justifie.
4. dVrai ou faux : $\widehat{BEF}$ et $\widehat{DFM}$ sont alternes-internes. Justifie.

Ex. 31★★★Parallèles obliques : enchaîner deux propriétés — Les droites (QS) et (UW) sont parallèles. Elles sont coupées par la sécante (BC) en I et J. On donne $\widehat{SIB} = 139^\circ$.

1. aCalcule $\widehat{UJI}$ en rédigeant avec « on sait que, or, donc ».
2. bCalcule $\widehat{WJI}$ en rédigeant ta démonstration.
3. cBen déplace la sécante. Les droites restent parallèles et il obtient $\widehat{UJI} = 36{,}5^\circ$. Retrouve $\widehat{SIB}$.

Ex. 32★★★Le passage à niveau — À un passage à niveau, la route (RT) coupe les deux rails (AB) et (CD) en O et P. Les deux rails sont parallèles. On donne $\widehat{AOP} = 127{,}5^\circ$.

1. aCalcule l'angle $\widehat{CPT}$ que fait la route avec le second rail.
2. bCalcule $\widehat{CPO}$.
3. cLila écrit : « $\widehat{BOR}$ et $\widehat{AOP}$ sont opposés par le sommet, donc ils sont supplémentaires. » Trouve son erreur et donne $\widehat{BOR}$.

Ex. 33★★★La charpente : parallèles, triangle et piège du 180° — Sur le plan d'une charpente, Yanis a tracé la panne (AB) et l'entrait (CD), qui sont parallèles. Deux jambes de force [SM] et [SN] partent du point S de (AB) et rejoignent (CD) en M et N. On donne $\widehat{ASM} = 53{,}5^\circ$ et $\widehat{BSN} = 73^\circ$.

1. aCalcule $\widehat{SMN}$ en rédigeant avec « on sait que, or, donc ».
2. bCalcule $\widehat{SNM}$ en citant la propriété utilisée.
3. cCalcule $\widehat{MSN}$.
4. dLucas affirme : « $\widehat{DNS} = \widehat{BSN}$ car (AB) et (CD) sont parallèles. » A-t-il raison ? Calcule $\widehat{DNS}$.
5. eDémontre que le triangle SMN est isocèle et précise son sommet principal.

Ex. 34★★★L'étagère de Chloé : parallèles ou pas ? — Chloé a dessiné son étagère vue de côté. Les planches (AI), (CD) et (EK) sont coupées par la barre de renfort (IK) en I, J et K. La figure n'est pas à l'échelle. On donne $\widehat{AIJ} = 112^\circ$, $\widehat{DJI} = 112^\circ$ et $\widehat{EKJ} = 70^\circ$.

1. aDémontre que les planches (AI) et (CD) sont parallèles.
2. bCalcule $\widehat{CJI}$.
3. cLes planches (CD) et (EK) sont-elles parallèles ? Justifie.
4. dChloé dit : « Sur le dessin, (EK) a l'air parallèle à (AI), donc ces deux planches sont parallèles. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 35★★★Plan de ville : corriger la copie d'Inès — Sur un plan de ville, l'avenue (RS) et l'avenue (UV) sont parallèles. La rue (PQ) les coupe en L et M. On donne $\widehat{PLS} = 138{,}5^\circ$. Inès a commencé l'exercice, mais sa copie contient des erreurs.

1. aCalcule $\widehat{SLM}$.
2. bInès écrit : « $\widehat{RLP}$ et $\widehat{SLM}$ sont adjacents, donc $\widehat{RLP} = 180^\circ - \widehat{SLM}$. » Corrige son erreur et donne $\widehat{RLP}$.
3. cInès écrit : « $\widehat{LMV}$ et $\widehat{SLM}$ sont alternes-internes, donc ils sont égaux. » Corrige son erreur, puis calcule $\widehat{LMV}$ en rédigeant.
4. dCalcule $\widehat{UMQ}$, puis $\widehat{LMU}$.

Ex. 36★★★Parallèles, pas parallèles, ou on ne sait pas ? — Deux droites (d₁) et (d₂) sont coupées par une sécante. Dans chaque cas, réponds et justifie en une phrase.

1. aDeux angles alternes-internes mesurent $47^\circ$ et $47^\circ$. Les droites (d₁) et (d₂) sont-elles parallèles ?
2. bDeux angles correspondants mesurent $112^\circ$ et $113^\circ$. Que peux-tu conclure sur (d₁) et (d₂) ?
3. cDeux angles opposés par le sommet mesurent tous les deux $64^\circ$. Que peux-tu conclure sur (d₁) et (d₂) ?
4. dDeux angles alternes-internes mesurent $71^\circ$ et $109^\circ$ : leur somme fait $180^\circ$. Les droites (d₁) et (d₂) sont-elles parallèles ?
5. eDeux angles correspondants mesurent $38{,}5^\circ$ chacun. Zoé écrit : « Or, si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, les angles correspondants ont la même mesure.
   Donc $(d_1) \parallel (d_2)$. » Corrige sa phrase « Or ».

Ex. 37★★★Choisir la bonne paire d'angles — La sécante (GH) coupe la droite (AB) en E et la droite (CD) en F.

1. aOn donne $\widehat{AEF} = 116{,}5^\circ$ et $\widehat{EFC} = 116{,}5^\circ$. Ces angles sont-ils alternes-internes ou correspondants ? Que peux-tu conclure pour (AB) et (CD) ?
2. bNomme l'angle de sommet F qui est correspondant à $\widehat{BEF}$.
3. cNomme l'angle de sommet F qui est alterne-interne avec $\widehat{BEF}$.
4. dLes angles $\widehat{AEF}$ et $\widehat{EFD}$ sont-ils alternes-internes ? Justifie.

Ex. 38★★★Plan de ville : deux rues parallèles ? — Sur un plan, l'avenue (GH) coupe la rue (AB) en E et la rue (CD) en F. On sait que $\widehat{GEB} = 123{,}5^\circ$ et $\widehat{CFE} = 56{,}5^\circ$.

1. aCalcule $\widehat{BEF}$. Justifie.
2. bDémontre que les rues (AB) et (CD) sont parallèles.
3. cLéo écrit : « $\widehat{GEB}$ et $\widehat{CFE}$ sont supplémentaires, donc $(AB) \parallel (CD)$. » Sa justification est-elle correcte ? Explique.

Ex. 39★★★L'étagère de Nadia — Nadia fixe deux planches (MN) et (PQ) sur un montant (RS), qui les coupe en K et en L. On sait que $\widehat{RKN} = 76^\circ$ et $\widehat{KLQ} = 79^\circ$. La figure n'est pas à l'échelle.

1. aCalcule $\widehat{MKL}$. Justifie.
2. bLes planches (MN) et (PQ) sont-elles parallèles ? Justifie.
3. cSami dit : « $\widehat{RKN}$ et $\widehat{MKL}$ ont la même mesure, donc $(MN) \parallel (PQ)$. » Explique son erreur.

Ex. 40★★★L'échelle aux trois barreaux — Sur le schéma d'une échelle, le montant (KM) coupe trois barreaux (AB), (CD) et (EM) en K, L et M. On sait que $\widehat{BKL} = 115{,}5^\circ$, $\widehat{KLD} = 64{,}5^\circ$ et $\widehat{LME} = 114^\circ$.

1. aCalcule $\widehat{AKL}$. Justifie.
2. bDémontre que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
3. cCalcule $\widehat{KLC}$. Justifie.
4. dLes droites (CD) et (EM) sont-elles parallèles ? Justifie.
5. eLina affirme : « (AB) et (EM) sont parallèles, ça se voit sur la figure. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 41★★★Trois élèves, trois erreurs — La sécante (GH) coupe les droites (AB) et (CD) en E et en F. On sait que $\widehat{GEB} = 87{,}5^\circ$ et $\widehat{EFD} = 92{,}5^\circ$. Théo, Hugo et Inès ont rédigé leur réponse.

1. aCalcule $\widehat{AEF}$. Justifie.
2. bThéo écrit : « $\widehat{EFC} = 180^\circ - 92{,}5^\circ = 87{,}5^\circ$, comme $\widehat{GEB}$, donc $(AB) \parallel (CD)$. » Explique son erreur.
3. cHugo écrit : « Or, si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, les angles alternes-internes ont la même mesure.
   Donc $\widehat{EFD} = \widehat{AEF}$. » Pourquoi n'a-t-il pas le droit d'utiliser cette propriété ?
4. dInès écrit : « $\widehat{GEB}$ et $\widehat{EFD}$ sont correspondants et leur somme fait $180^\circ$, donc $(AB) \parallel (CD)$. » A-t-elle raison ? Justifie.
5. eQuelle mesure devrait avoir $\widehat{EFC}$ pour que (AB) et (CD) soient parallèles ? Justifie.

Ex. 42★★★La traverse du pont — Sur le schéma d'un pont, les poutres [AB] et [AC] et le tablier [BC] forment un triangle ABC. Une traverse [DE] relie le point D de [AB] au point E de [AC]. On sait que $\widehat{BAC} = 44^\circ$, $\widehat{ACB} = 68^\circ$ et $\widehat{ADE} = 68^\circ$.

1. aYanis écrit : « $\widehat{ADE}$ et $\widehat{ACB}$ mesurent tous les deux 68°, donc $(DE) \parallel (BC)$. » Explique pourquoi sa justification ne convient pas.
2. bCalcule $\widehat{ABC}$. Justifie.
3. cDémontre que la traverse (DE) est parallèle au tablier
   (BC).
4. dCalcule $\widehat{DEC}$. Justifie.
5. eLe triangle ADE est-il isocèle ? Justifie.

Ex. 43★★★Les angles des triangles particuliers — Calcule chaque angle sans mesurer et cite la propriété que tu utilises.

1. aRST est un triangle rectangle en S, avec $\widehat{SRT} = 37{,}5^\circ$. Calcule $\widehat{STR}$.
2. bUVW est isocèle en U et $\widehat{VUW} = 38^\circ$. Calcule $\widehat{UVW}$.
3. cPQK est isocèle en P et $\widehat{PQK} = 64^\circ$. Retrouve la mesure de l'angle au sommet $\widehat{QPK}$.
4. dLe triangle EFG est équilatéral. Quelle est la mesure de $\widehat{FGE}$ ?
5. eLéna dit : « Dans mon triangle, deux angles mesurent 125° et 75°. » Ce triangle peut-il exister ? Justifie.

Ex. 44★★★Un angle connu, des droites parallèles… ou pas — Sur cette figure, qui n'est pas à l'échelle, on sait que (AB) et (CD) sont parallèles et qu'elles sont coupées par la sécante (EF). On a aussi $\widehat{AEF} = 57^\circ$. La droite (LM) coupe la droite (EF) en M.

1. aNomme l'angle de sommet F qui est alterne-interne avec $\widehat{AEF}$, puis donne sa mesure en justifiant.
2. bCalcule $\widehat{CFM}$. Justifie ta réponse.
3. cL'angle $\widehat{BEF}$ est-il aigu ou obtus ? Calcule sa mesure.
4. dHugo affirme : « $\widehat{LMF} = 57^\circ$, car $\widehat{LMF}$ et $\widehat{AEF}$ sont alternes-internes. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 45★★★Le chemin en zigzag entre deux rues — Sur un plan de ville, la rue de la Gare (AB) et le boulevard (CD) sont parallèles. Un chemin piéton va de E à M, puis de M à F. On sait que $\widehat{BEM} = 32^\circ$ et $\widehat{DFM} = 46^\circ$. On trace en pointillé la droite (MP), parallèle à (AB).

1. aDémontre que les droites (MP) et (CD) sont parallèles.
2. bCalcule $\widehat{EMP}$ en rédigeant avec « on sait que, or, donc ».
3. cCalcule $\widehat{PMF}$ en rédigeant.
4. dDéduis-en la mesure de l'angle $\widehat{EMF}$ du chemin. Compare-la avec $\widehat{BEM}$ et $\widehat{DFM}$ : que remarques-tu ?

Ex. 46★★★Pourquoi la somme fait 180° — Dans le triangle RST, on sait que $\widehat{TRS} = 41^\circ$ et $\widehat{RST} = 33^\circ$. La droite (UV) passe par T et elle est parallèle à (RS).

1. aCalcule $\widehat{UTR}$ en rédigeant avec « on sait que, or, donc ».
2. bCalcule $\widehat{VTS}$ en rédigeant.
3. cLes angles $\widehat{UTR}$, $\widehat{RTS}$ et $\widehat{STV}$ forment l'angle plat $\widehat{UTV}$. Déduis-en $\widehat{RTS}$.
4. dCalcule $\widehat{TRS} + \widehat{RST} + \widehat{RTS}$. Explique pourquoi on trouverait le même résultat dans n'importe quel triangle.

Ex. 47★★★La ferme de la charpente — La ferme d'une charpente est représentée par le triangle ABC, isocèle en A, avec $\widehat{ABC} = 34^\circ$. Une poutre [DE] relie D sur [AB] à E sur [AC], avec $\widehat{ADE} = 34^\circ$. Une jambe de force [EF] relie E à F sur [BC], avec $\widehat{EFC} = 75^\circ$. Ne lis aucune mesure sur la figure.

1. aCalcule $\widehat{ACB}$ en citant la propriété du triangle isocèle.
2. bDémontre que les droites (DE) et (BC) sont parallèles.
3. cCalcule $\widehat{BAC}$.
4. dCalcule $\widehat{DEF}$ en rédigeant avec « on sait que, or, donc ».
5. eCalcule $\widehat{FEC}$ dans le triangle EFC.

Ex. 48★★★Le support de l'étagère — Vu de côté, le support d'une étagère est le quadrilatère RSTU. On a : $\widehat{URS} = 63^\circ$, $\widehat{RUT} = 117^\circ$, $\widehat{UTS} = 104^\circ$ et $\widehat{SRT} = 38^\circ$. Le point V est sur la droite (UR), au-delà de R.

1. aCalcule $\widehat{VRS}$.
2. bDémontre que les droites (RS) et (UT) sont parallèles.
3. cCalcule $\widehat{RTU}$ en justifiant.
4. dDéduis-en $\widehat{RTS}$.
5. eInès écrit : « $\widehat{RST} = 180^\circ - 38^\circ + 66^\circ = 208^\circ$ ». Explique pourquoi c'est impossible, puis calcule $\widehat{RST}$.

Ex. 49★★★Deux échelles contre le mur — Le mur [HM] est perpendiculaire au sol (CH). L'échelle [AB] a son pied A sur le sol et s'appuie sur le mur en B, avec $\widehat{BAH} = 72{,}5^\circ$. Une deuxième échelle [CD] a son pied C sur le sol et s'appuie en D, avec $\widehat{CDH} = 18^\circ$.

1. aCalcule $\widehat{ABH}$ en citant la propriété utilisée.
2. bCalcule $\widehat{DCH}$.
3. cMalo affirme : « Sur le dessin, les deux échelles sont parallèles. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dMalo déplace le haut D de la deuxième échelle, sans bouger son pied C. Quelle mesure doit avoir $\widehat{CDH}$ pour que (CD) et (AB) soient parallèles ? Justifie.